নমস্কাৰ প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী! HSLC GURU-লৈ আদৰণি জনাইছোঁ। এই পাঠত আমি ASSEB দশম শ্ৰেণীৰ গণিত পাঠ্যপুথিৰ দ্বাদশ অধ্যায় “বৃত্ত সম্বন্ধীয় কালি (Areas Related to Circles)”-ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান অসমীয়া মাধ্যমত অধ্যয়ন কৰিম। এই অধ্যায়ত বৃত্তৰ পৰিধি, কালি, বৃত্তকলাৰ কালি, বৃত্তখণ্ডৰ কালি আৰু সংযুক্ত আকৃতিৰ কালি নিৰ্ণয়ৰ ধাৰণা সম্পূৰ্ণৰূপে আলোচনা কৰা হৈছে। অনুশীলনী ১২.১, ১২.২ আৰু ১২.৩-ৰ প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ সবিশেষ সমাধান এই পাঠত সন্নিৱিষ্ট কৰা হৈছে।
সাৰাংশ (Summary in Assamese)
বৃত্ত হৈছে এটা সমতলীয় বদ্ধ আকৃতি যাৰ পৰিসীমাৰ প্ৰতিটো বিন্দু কেন্দ্ৰৰ পৰা সমান দূৰত্বত অৱস্থিত। এই দূৰত্বক ব্যাসাৰ্ধ ($r$) বোলে। বৃত্তৰ পৰিধি $C = 2\pi r$ আৰু কালি $A = \pi r^2$। দুটা ব্যাসাৰ্ধৰ মাজৰ অংশই বৃত্তকলা (sector) সৃষ্টি কৰে আৰু এডাল জ্যা (chord)-এ বৃত্তখণ্ড (segment) সৃষ্টি কৰে। দৈনন্দিন জীৱনৰ বহুতো বস্তু যেনে চক্ৰ, ঘড়ীৰ কাঁটা, চাবুকতলি, ঘোঁৰাৰ ঘাঁহ চৰাৰ ক্ষেত্ৰ, দৌৰ-পথৰ কালি ইত্যাদিৰ গণনা এই অধ্যায়ৰ ধাৰণাৰে কৰা হয়। চাপৰ দৈৰ্ঘ্য, বৃত্তকলাৰ কালি, বৃত্তখণ্ডৰ কালি আৰু সংযুক্ত আকৃতিৰ কালি নিৰ্ণয়ৰ সূত্ৰসমূহ এই অধ্যায়ৰ মূল আহিলা।
Summary (English)
This Class 10 chapter introduces the concepts of perimeter (circumference) and area of a circle, along with related concepts such as sector and segment of a circle. Students learn to calculate the length of an arc, the area of a sector, the area of a segment, and the area of combinations of plane figures involving circles, triangles, squares and rectangles. Real-life applications include wheels, clock hands, archery targets, brooches, umbrella ribs, race tracks and decorative tiles. The standard approximation $\pi = \tfrac{22}{7}$ is used unless specified otherwise.
মূল সূত্ৰসমূহ (Key Formulae)
| ক্ৰ. | পৰিমাপ | সূত্ৰ |
|---|---|---|
| ১ | বৃত্তৰ পৰিধি | $C = 2\pi r = \pi d$ |
| ২ | বৃত্তৰ কালি | $A = \pi r^2$ |
| ৩ | অৰ্ধবৃত্তৰ কালি | $A = \tfrac{1}{2}\pi r^2$ |
| ৪ | অৰ্ধবৃত্তৰ পৰিসীমা | $P = \pi r + 2r$ |
| ৫ | চাপৰ দৈৰ্ঘ্য | $\ell = \tfrac{\theta}{360°}\times 2\pi r$ |
| ৬ | বৃত্তকলাৰ কালি | $A = \tfrac{\theta}{360°}\times \pi r^2 = \tfrac{1}{2} r\ell$ |
| ৭ | বৃত্তখণ্ডৰ কালি | বৃত্তকলাৰ কালি − ত্ৰিভুজৰ কালি |
| ৮ | বলয়ৰ কালি (Annular) | $A = \pi(R^2 – r^2)$ |
| ৯ | সমবাহু ত্ৰিভুজৰ কালি | $A = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$ |
চাপৰ দৈৰ্ঘ্যৰ সূত্ৰটো হ’ল:
$$\ell = \frac{\theta}{360°}\times 2\pi r$$
বৃত্তকলাৰ কালিৰ সূত্ৰ:
$$A_{\text{sector}} = \frac{\theta}{360°}\times \pi r^2 = \frac{1}{2}\,r\,\ell$$
বৃত্তখণ্ডৰ কালি (লঘু):
$$A_{\text{segment}} = \frac{\theta}{360°}\pi r^2 – \frac{1}{2} r^2 \sin\theta$$
বৃত্তকলা আৰু বৃত্তখণ্ডৰ চিত্ৰ
অনুশীলনী ১২.১ (Exercise 12.1)
(অন্যথা উল্লেখ নকৰিলে $\pi = \tfrac{22}{7}$ লোৱা হৈছে।)
প্ৰশ্ন ১। দুটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ যথাক্ৰমে ১৯ ছে.মি. আৰু ৯ ছে.মি.। সেই বৃত্ত দুটাৰ পৰিধিৰ সমষ্টিৰ সমান পৰিধিৰ বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক প্ৰাৰ্থিত বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $R$ ছে.মি.।
$$2\pi R = 2\pi(19) + 2\pi(9) = 2\pi(28)$$
$\therefore R = 28$ ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ২। দুটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ যথাক্ৰমে ৮ ছে.মি. আৰু ৬ ছে.মি.। সেই বৃত্ত দুটাৰ কালিৰ যোগফলৰ সমান কালিৰ বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক প্ৰাৰ্থিত বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $R$ ছে.মি.।
$$\pi R^2 = \pi (8)^2 + \pi (6)^2 = \pi(64+36) = 100\pi$$
$\therefore R^2 = 100 \Rightarrow R = 10$ ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৩। চিত্ৰত এখন কাঁড় মৰা লক্ষ্যৰ পাঁচটা স্কোৰিং অঞ্চল দেখুৱা হৈছে — Gold, Red, Blue, Black আৰু White। Gold অঞ্চলৰ ব্যাস ২১ ছে.মি. আৰু আন প্ৰতিটো অঞ্চলৰ প্ৰস্থ ১০.৫ ছে.মি.। প্ৰতিটো অঞ্চলৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ Gold-ৰ ব্যাসাৰ্ধ $r_1 = 10.5$ ছে.মি.; প্ৰতিটো অঞ্চলৰ প্ৰস্থ ১০.৫ ছে.মি. বাবে ব্যাসাৰ্ধসমূহ হ’ব $r_2 = 21$, $r_3 = 31.5$, $r_4 = 42$, $r_5 = 52.5$ ছে.মি.।
Gold-ৰ কালি $= \pi r_1^2 = \tfrac{22}{7}\times 10.5\times 10.5 = 346.5$ ব.ছে.মি.।
Red-ৰ কালি $= \pi(r_2^2 – r_1^2) = \tfrac{22}{7}(441 – 110.25) = \tfrac{22}{7}\times 330.75 = 1039.5$ ব.ছে.মি.।
Blue-ৰ কালি $= \pi(r_3^2 – r_2^2) = \tfrac{22}{7}(992.25 – 441) = \tfrac{22}{7}\times 551.25 = 1732.5$ ব.ছে.মি.।
Black-ৰ কালি $= \pi(r_4^2 – r_3^2) = \tfrac{22}{7}(1764 – 992.25) = \tfrac{22}{7}\times 771.75 = 2425.5$ ব.ছে.মি.।
White-ৰ কালি $= \pi(r_5^2 – r_4^2) = \tfrac{22}{7}(2756.25 – 1764) = \tfrac{22}{7}\times 992.25 = 3118.5$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৪। এখন গাড়ীৰ চক্ৰৰ ব্যাস ৮০ ছে.মি.। গাড়ীখন ঘণ্টাত ৬৬ কি.মি. বেগেৰে চলিলে ১০ মিনিটত প্ৰতিটো চক্ৰই কেইটা সম্পূৰ্ণ আৱৰ্তন কৰিব?
উত্তৰঃ চক্ৰৰ ব্যাসাৰ্ধ $r = 40$ ছে.মি.।
চক্ৰৰ পৰিধি $= 2\pi r = 2\times \tfrac{22}{7}\times 40 = \tfrac{1760}{7}$ ছে.মি.।
১০ মিনিটত গাড়ীয়ে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব $= \tfrac{66}{60}\times 10 = 11$ কি.মি. $= 11\times 10^5$ ছে.মি.।
$$\text{আৱৰ্তন সংখ্যা} = \frac{11\times 10^5}{\tfrac{1760}{7}} = \frac{11\times 10^5 \times 7}{1760} = 4375$$
$\therefore$ চক্ৰটোৱে ১০ মিনিটত ৪৩৭৫ বাৰ আৱৰ্তন কৰিব।
প্ৰশ্ন ৫। যদি কোনো এটা বৃত্তৰ পৰিধি আৰু কালিৰ সাংখ্যিক মান সমান হয়, তেন্তে বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ —
(A) ২ একক (B) $\pi$ একক (C) ৪ একক (D) ৭ একক
উত্তৰঃ $2\pi r = \pi r^2 \Rightarrow r = 2$ একক। সঠিক উত্তৰ (A) ২ একক।
অনুশীলনী ১২.২ (Exercise 12.2)
প্ৰশ্ন ১। ৬ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এটা বৃত্তকলাই কেন্দ্ৰত ৬০° কোণ উৎপন্ন কৰিছে। বৃত্তকলাটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r = 6$, $\theta = 60°$।
$$A = \frac{\theta}{360°}\pi r^2 = \frac{60}{360}\times \frac{22}{7}\times 36 = \frac{132}{7}\,\text{ব.ছে.মি.}$$
$\therefore A \approx 18.857$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ২। ২২ ছে.মি. পৰিধিযুক্ত এটা বৃত্তৰ চতুৰ্থাংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $2\pi r = 22 \Rightarrow r = \tfrac{22\times 7}{2\times 22} = 3.5$ ছে.মি.।
চতুৰ্থাংশৰ কালি $= \tfrac{1}{4}\pi r^2 = \tfrac{1}{4}\times \tfrac{22}{7}\times 12.25 = \tfrac{77}{8} = 9.625$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৩। এটা ঘড়ীৰ মিনিটৰ কাঁটাটোৰ দৈৰ্ঘ্য ১৪ ছে.মি.। মিনিটৰ কাঁটাই ৫ মিনিটত যাৰ ওপৰেৰে যায়, সেই কালিৰ পৰিমাণ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ৬০ মিনিটত মিনিটৰ কাঁটাই ৩৬০° ঘূৰে। ৫ মিনিটত $\theta = \tfrac{360}{60}\times 5 = 30°$।
$$A = \frac{30}{360}\times \frac{22}{7}\times 14^2 = \frac{1}{12}\times \frac{22}{7}\times 196 = \frac{154}{3} \approx 51.33\,\text{ব.ছে.মি.}$$
প্ৰশ্ন ৪। ১০ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এডাল জ্যা-ই কেন্দ্ৰত ৯০° কোণ উৎপন্ন কৰিছে। সংশ্লিষ্ট (i) লঘু বৃত্তখণ্ডৰ কালি (ii) গুৰু বৃত্তকলাৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। ($\pi = 3.14$)
উত্তৰঃ $r = 10$, $\theta = 90°$।
(i) বৃত্তকলাৰ কালি $= \tfrac{90}{360}\times 3.14\times 100 = 78.5$ ব.ছে.মি.।
$\triangle AOB$-ৰ কালি $= \tfrac{1}{2}\times 10\times 10 = 50$ ব.ছে.মি.।
লঘু বৃত্তখণ্ডৰ কালি $= 78.5 – 50 = 28.5$ ব.ছে.মি.।
(ii) গুৰু বৃত্তকলাৰ কালি $= \pi r^2 – 78.5 = 314 – 78.5 = 235.5$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৫। ২১ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এটা চাপে কেন্দ্ৰত ৬০° কোণ উৎপন্ন কৰিছে। নিৰ্ণয় কৰা — (i) চাপৰ দৈৰ্ঘ্য (ii) চাপ আৰু ব্যাসাৰ্ধ দুডালৰ মাজৰ বৃত্তকলাৰ কালি (iii) সংশ্লিষ্ট জ্যাই উৎপন্ন কৰা বৃত্তখণ্ডৰ কালি।
উত্তৰঃ $r = 21$, $\theta = 60°$।
(i) চাপৰ দৈৰ্ঘ্য $\ell = \tfrac{60}{360}\times 2\times \tfrac{22}{7}\times 21 = 22$ ছে.মি.।
(ii) বৃত্তকলাৰ কালি $= \tfrac{60}{360}\times \tfrac{22}{7}\times 441 = 231$ ব.ছে.মি.।
(iii) ত্ৰিভুজ $OAB$ সমবাহু (কাৰণ $OA=OB=r$ আৰু $\angle AOB = 60°$); ইয়াৰ কালি $= \tfrac{\sqrt{3}}{4}\times 21^2 = \tfrac{441\sqrt{3}}{4}$ ব.ছে.মি.।
বৃত্তখণ্ডৰ কালি $= 231 – \tfrac{441\sqrt{3}}{4}$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৬। ১৫ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত ৬০° কোণ উৎপন্ন কৰিছে। সংশ্লিষ্ট লঘু আৰু গুৰু বৃত্তখণ্ডৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। ($\pi=3.14$, $\sqrt{3}=1.73$)
উত্তৰঃ বৃত্তকলাৰ কালি $= \tfrac{60}{360}\times 3.14\times 225 = 117.75$ ব.ছে.মি.।
সমবাহু $\triangle$-ৰ কালি $= \tfrac{\sqrt{3}}{4}\times 225 = \tfrac{1.73\times 225}{4} = 97.3125$ ব.ছে.মি.।
লঘু বৃত্তখণ্ডৰ কালি $= 117.75 – 97.3125 = 20.4375$ ব.ছে.মি.।
গুৰু বৃত্তখণ্ডৰ কালি $= \pi r^2 – 20.4375 = 706.5 – 20.4375 = 686.0625$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৭। ১২ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত ১২০° কোণ উৎপন্ন কৰিছে। সংশ্লিষ্ট বৃত্তখণ্ডৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। ($\pi=3.14$, $\sqrt{3}=1.73$)
উত্তৰঃ বৃত্তকলাৰ কালি $= \tfrac{120}{360}\times 3.14\times 144 = 150.72$ ব.ছে.মি.।
$\triangle OAB$-ৰ কালি $= \tfrac{1}{2}r^2 \sin 120° = \tfrac{1}{2}\times 144\times \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3} = 62.28$ ব.ছে.মি.।
বৃত্তখণ্ডৰ কালি $= 150.72 – 62.28 = 88.44$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৮। ১৫ মিটাৰ × ১৫ মিটাৰ মাপৰ এখন বৰ্গাকাৰ পথাৰৰ এটা চুকত পোতা খুঁটাত ৫ মিটাৰ দীঘল ৰছীৰে এটা ঘোঁৰা বান্ধি দিয়া হ’ল। নিৰ্ণয় কৰা — (i) ঘোঁৰাটোৱে চৰিব পৰা পথাৰৰ অংশৰ কালি (ii) ৫ মিটাৰৰ পৰিৱৰ্তে ১০ মিটাৰ দীঘল ৰছী হ’লে চৰিব পৰা কালিৰ বৃদ্ধি। ($\pi = 3.14$)
উত্তৰঃ (i) ঘোঁৰাই চৰিব পৰা অংশটো হৈছে $90°$ কোণৰ এটা বৃত্তকলা।
$$A_1 = \tfrac{90}{360}\times 3.14\times 25 = 19.625\,\text{ব.মি.}$$
(ii) ১০ মিটাৰৰ ৰছীত: $A_2 = \tfrac{90}{360}\times 3.14\times 100 = 78.5$ ব.মি.।
চৰিব পৰা কালিৰ বৃদ্ধি $= 78.5 – 19.625 = 58.875$ ব.মি.।
প্ৰশ্ন ৯। চিত্ৰত ৰূপৰ তাৰেৰে নিৰ্মিত এটা ব্ৰোচ দেখুৱা হৈছে। তাৰৰ এটা ব্যাসৰে বৃত্তটোক ১০টা সমান বৃত্তকলাত ভাগ কৰা হৈছে। বৃত্তটোৰ ব্যাস ৩৫ মি.মি.। নিৰ্ণয় কৰা — (i) ব্যৱহৃত মুঠ তাৰৰ দৈৰ্ঘ্য (ii) প্ৰতিটো বৃত্তকলাৰ কালি।
উত্তৰঃ ব্যাস $d = 35$ মি.মি., $r = 17.5$ মি.মি.।
(i) মুঠ তাৰৰ দৈৰ্ঘ্য $=$ পৰিধি + ৫ ডাল ব্যাস (যিয়ে ১০ ভাগ কৰে) $= 2\pi r + 5d = \tfrac{22}{7}\times 35 + 5\times 35 = 110 + 175 = 285$ মি.মি.।
(ii) প্ৰতিটো বৃত্তকলাৰ কোণ $= \tfrac{360°}{10} = 36°$।
প্ৰতিটো বৃত্তকলাৰ কালি $= \tfrac{1}{10}\pi r^2 = \tfrac{1}{10}\times \tfrac{22}{7}\times 17.5\times 17.5 = \tfrac{385}{4} = 96.25$ ব.মি.মি.।
প্ৰশ্ন ১০। ৪৫ ছে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ ৮ ডাল ছাত্ৰিৰ ৰিব ছাত্ৰিৰ মাজত সমান কোণেৰে সংস্থাপিত হৈ আছে। দুডাল লগৰীয়া ৰিবৰ মাজৰ ছাত্ৰিৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r = 45$ ছে.মি., $\theta = \tfrac{360°}{8} = 45°$।
$$A = \frac{45}{360}\times \frac{22}{7}\times 45^2 = \frac{1}{8}\times \frac{22}{7}\times 2025 = \frac{22275}{28}$$
$\therefore A \approx 795.54$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১১। এখন গাড়ীৰ দুডাল ৱাইপাৰৰ প্ৰত্যেকেই ২৫ ছে.মি. দীঘল এটা ব্লেডৰে ১১৫° কোণৰ পৰিধিৰ ওপৰেৰে নিজ নিজ অংশ পৰিষ্কাৰ কৰে। দুয়োডাল ৱাইপাৰে এবাৰ ফুৰি যিমান কালি পৰিষ্কাৰ কৰে নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ এডাল ৱাইপাৰে পৰিষ্কাৰ কৰা কালি $= \tfrac{115}{360}\times \tfrac{22}{7}\times 25^2 = \tfrac{115\times 22\times 625}{360\times 7} = \tfrac{158125}{252}$ ব.ছে.মি.।
দুয়োডালৰ মুঠ $= 2\times \tfrac{158125}{252} = \tfrac{158125}{126} \approx 1254.96$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১২। সাগৰৰ জাহাজত সংকেত পঠাবলৈ এটা বাতিঘৰে ১৬.৫ কি.মি. দূৰত্বৰ ভিতৰত ৮০° কোণৰ এটা বৃত্তকলাৰ ওপৰেৰে ৰঙা ৰঙৰ পোহৰ পেলায়। সাগৰৰ যিমান কালিৰ ওপৰত জাহাজলৈ সতৰ্কবাণী যাব নিৰ্ণয় কৰা। ($\pi=3.14$)
উত্তৰঃ $r = 16.5$ কি.মি., $\theta = 80°$।
$$A = \tfrac{80}{360}\times 3.14\times 16.5^2 = \tfrac{2}{9}\times 3.14\times 272.25 \approx 189.97\,\text{ব.কি.মি.}$$
প্ৰশ্ন ১৩। চিত্ৰত প্ৰদৰ্শিত গোলাকাৰ আকৃতিৰ এখন ছাতিত ছয়ডাল সমান বৃত্তকলা আঁকা আছে। প্ৰতিটো বৃত্তকলাৰ ব্যাসাৰ্ধ ২৮ ছে.মি. হ’লে ছাতিত আঁকা মুঠ কাপোৰৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\theta = \tfrac{360°}{6} = 60°$, $r=28$।
প্ৰতিটো বৃত্তকলাৰ কালি $= \tfrac{60}{360}\times \tfrac{22}{7}\times 784 = \tfrac{1232}{3}$ ব.ছে.মি.।
মুঠ কালি $= 6\times \tfrac{1232}{3} = 2464$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১৪। $R$ ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ $P°$ কোণৰ এটা বৃত্তকলাৰ কালি কিমান? (A) $\tfrac{P}{180}\times 2\pi R$ (B) $\tfrac{P}{180}\times \pi R^2$ (C) $\tfrac{P}{360}\times 2\pi R$ (D) $\tfrac{P}{720}\times 2\pi R^2$
উত্তৰঃ বৃত্তকলাৰ কালি $= \tfrac{P}{360}\pi R^2 = \tfrac{P}{720}\times 2\pi R^2$। সঠিক উত্তৰ (D) $\tfrac{P}{720}\times 2\pi R^2$।
অনুশীলনী ১২.৩ (Exercise 12.3)
প্ৰশ্ন ১। চিত্ৰত $PQ = 24$ ছে.মি., $PR = 7$ ছে.মি. আৰু $O$ কেন্দ্ৰৰ বৃত্তটোৰ $RQ$ ব্যাস। ছাঁ পৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ অৰ্ধবৃত্তত $\angle RPQ = 90°$।
$RQ = \sqrt{PR^2 + PQ^2} = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25$ ছে.মি.; ব্যাসাৰ্ধ $r = 12.5$।
অৰ্ধবৃত্তৰ কালি $= \tfrac{1}{2}\times \tfrac{22}{7}\times 12.5^2 = \tfrac{1}{2}\times \tfrac{22}{7}\times 156.25 \approx 245.54$ ব.ছে.মি.।
$\triangle PQR$-ৰ কালি $= \tfrac{1}{2}\times 7\times 24 = 84$ ব.ছে.মি.।
ছাঁ পৰা অংশৰ কালি $= 245.54 – 84 = 161.54$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ২। চিত্ৰত $O$ কেন্দ্ৰিক বৃত্ত দুটাৰ ব্যাসাৰ্ধ যথাক্ৰমে ৭ ছে.মি. আৰু ১৪ ছে.মি. আৰু $\angle AOC = 40°$। ছাঁ পৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ছাঁ পৰা কালি $= \tfrac{40}{360}\times \pi (R^2 – r^2) = \tfrac{1}{9}\times \tfrac{22}{7}(196 – 49) = \tfrac{1}{9}\times \tfrac{22}{7}\times 147 = \tfrac{154}{3} \approx 51.33$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৩। চিত্ৰত $APB$ আৰু $CQD$ দুটা অৰ্ধবৃত্ত যাৰ ব্যাস যথাক্ৰমে ১৪ ছে.মি.। আৰু $ABCD$ এটা ১৪ ছে.মি. বাহুৰ বৰ্গক্ষেত্ৰ। ছাঁ পৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বৰ্গৰ কালি $= 14^2 = 196$ ব.ছে.মি.।
দুটা অৰ্ধবৃত্তৰ মুঠ কালি $= 2\times \tfrac{1}{2}\pi r^2 = \pi\times 49 = \tfrac{22}{7}\times 49 = 154$ ব.ছে.মি.।
ছাঁ পৰা অংশৰ কালি $= 196 – 154 = 42$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৪। চিত্ৰত এটা বৰ্গাকাৰ $OABC$ এটা চতুৰ্থাংশৰ ভিতৰত খোদিত হৈছে। বৰ্গৰ এটা বাহু ২০ ছে.মি. হ’লে ছাঁ পৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। ($\pi = 3.14$)
উত্তৰঃ বৰ্গৰ কৰ্ণ $OB = 20\sqrt{2}$, যিটো চতুৰ্থাংশৰ ব্যাসাৰ্ধ $R = 20\sqrt{2}$।
চতুৰ্থাংশৰ কালি $= \tfrac{1}{4}\times 3.14\times (20\sqrt{2})^2 = \tfrac{1}{4}\times 3.14\times 800 = 628$ ব.ছে.মি.।
বৰ্গৰ কালি $= 400$ ব.ছে.মি.।
ছাঁ পৰা অংশৰ কালি $= 628 – 400 = 228$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৫। ৪ ছে.মি. বাহুৰ এটা বৰ্গৰ চাৰিও চুকৰ পৰা ১ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ চতুৰ্থাংশ আঁতৰ কৰা হ’ল আৰু কেন্দ্ৰত ব্যাস ২ ছে.মি.ৰ এটা বৃত্তো আঁতৰ কৰা হ’ল। অৱশিষ্ট অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বৰ্গৰ কালি $= 16$ ব.ছে.মি.।
৪টা চতুৰ্থাংশ মিলি = ১টা সম্পূৰ্ণ বৃত্ত (ব্যাসাৰ্ধ $1$); কালি $= \pi\times 1 = \tfrac{22}{7}$ ব.ছে.মি. $\approx 3.14$।
মাজৰ বৃত্তৰ কালি $= \pi\times 1^2 = \tfrac{22}{7}$ ব.ছে.মি. $\approx 3.14$।
অৱশিষ্ট কালি $= 16 – \tfrac{22}{7} – \tfrac{22}{7} = 16 – \tfrac{44}{7} = \tfrac{68}{7} \approx 9.71$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৬। এটা বৃত্তাকাৰ কাৰ্ডবৰ্ডৰ পৰা ৩২ ছে.মি. বাহুৰ এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ $ABC$ কাটি উলিওৱা হ’ল। বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ $\tfrac{32}{\sqrt{3}}$ ছে.মি.। ছাঁ পৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ সমবাহু ত্ৰিভুজৰ পৰিকেন্দ্ৰৰ ব্যাসাৰ্ধ $R = \tfrac{a}{\sqrt{3}} = \tfrac{32}{\sqrt{3}}$ ছে.মি.।
বৃত্তৰ কালি $= \pi R^2 = \tfrac{22}{7}\times \tfrac{1024}{3} = \tfrac{22528}{21} \approx 1072.76$ ব.ছে.মি.।
সমবাহু ত্ৰিভুজৰ কালি $= \tfrac{\sqrt{3}}{4}\times 32^2 = 256\sqrt{3} \approx 443.4$ ব.ছে.মি.।
ছাঁ পৰা অংশৰ কালি $= \tfrac{22528}{21} – 256\sqrt{3} \approx 629.36$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৭। ১৪ ছে.মি. বাহুৰ এটা বৰ্গৰ প্ৰতিটো চুকত ৭ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ চতুৰ্থাংশ আঁকা হৈছে। ছাঁ পৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ৪টা চতুৰ্থাংশৰ মুঠ কালি $= \pi r^2 = \tfrac{22}{7}\times 49 = 154$ ব.ছে.মি.।
বৰ্গৰ কালি $= 14^2 = 196$ ব.ছে.মি.।
ছাঁ পৰা অংশৰ কালি $= 196 – 154 = 42$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৮। চিত্ৰত এটা দৌৰপথ দেখুৱা হৈছে। দৌৰপথটোৰ ভিতৰ আৰু বাহিৰৰ পৰিসীমা বৰ্গাকাৰ অংশৰ ১০৬ মি. বাহুৰে আবদ্ধ হৈ আছে আৰু দুয়োপাশে ৬০ মি. ব্যাসৰ অৰ্ধবৃত্তাকাৰ চাপ আছে। দৌৰপথটোৰ প্ৰস্থ ১০ মি.। নিৰ্ণয় কৰা — (i) দৌৰপথটোৰ ভিতৰ আৰু বাহিৰৰ পৰিসীমা (ii) দৌৰপথটোৰ কালি।
উত্তৰঃ ভিতৰৰ অৰ্ধবৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $r = 30$ মি., বাহিৰৰটোৰ $R = 40$ মি.।
(i) ভিতৰৰ পৰিসীমা $= 2\times 106 + 2\pi r = 212 + 2\times \tfrac{22}{7}\times 30 = 212 + \tfrac{1320}{7} \approx 400.57$ মি.।
বাহিৰৰ পৰিসীমা $= 2\times 106 + 2\pi R = 212 + \tfrac{1760}{7} \approx 463.43$ মি.।
(ii) দৌৰপথৰ কালি $= 2(106\times 10) + \pi(R^2 – r^2) = 2120 + \tfrac{22}{7}(1600 – 900) = 2120 + \tfrac{22}{7}\times 700 = 2120 + 2200 = 4320$ ব.মি.।
প্ৰশ্ন ৯। চিত্ৰত $AB$ আৰু $CD$ এটা বৃত্তৰ দুডাল লম্ব ব্যাস। $OD$ ব্যাসৰে এটা সৰু বৃত্ত আঁকা হৈছে। $AB = 14$ ছে.মি. হ’লে ছাঁ পৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ডাঙৰ বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $R=7$, সৰু বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $r=3.5$।
সৰু বৃত্তৰ কালি $= \tfrac{22}{7}\times 12.25 = 38.5$ ব.ছে.মি.।
অৰ্ধ ডাঙৰ বৃত্তৰ কালি $= \tfrac{1}{2}\times \tfrac{22}{7}\times 49 = 77$ ব.ছে.মি.।
$\triangle ABC$-ৰ কালি $= \tfrac{1}{2}\times AB\times OC = \tfrac{1}{2}\times 14\times 7 = 49$ ব.ছে.মি.।
ছাঁ পৰা অংশ $= 38.5 + 77 – 49 = 66.5$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১০। এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ $ABC$-ৰ কালি $17320.5$ ব.ছে.মি.। ত্ৰিভুজটোৰ প্ৰতিটো শীৰ্ষক কেন্দ্ৰ কৰি বাহুৰ অৰ্ধেক ব্যাসাৰ্ধৰ এটাকৈ বৃত্ত আঁকা হ’ল। ত্ৰিভুজৰ ভিতৰৰ ছাঁ নপৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। ($\pi=3.14$, $\sqrt{3}=1.73205$)
উত্তৰঃ $\tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 17320.5 \Rightarrow a^2 = 40000 \Rightarrow a = 200$ ছে.মি.; ব্যাসাৰ্ধ $r = 100$।
প্ৰতিটো বৃত্তকলাৰ কোণ $60°$, ৩টাৰ মুঠ কালি $= 3\times \tfrac{60}{360}\times 3.14\times 100^2 = \tfrac{1}{2}\times 3.14\times 10000 = 15700$ ব.ছে.মি.।
ছাঁ পৰা অংশ $= 17320.5 – 15700 = 1620.5$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১১। ৪২ ছে.মি. বাহুৰ এখন বৰ্গাকাৰ ৰুমালত ৭ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ ৯টা বৃত্তাকাৰ ফুলৰ ডিজাইন আছে। ৰুমালত ফুল নথকা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বৰ্গৰ কালি $= 42^2 = 1764$ ব.ছে.মি.।
৯টা বৃত্তৰ কালি $= 9\times \tfrac{22}{7}\times 49 = 9\times 154 = 1386$ ব.ছে.মি.।
ফুল নথকা অংশৰ কালি $= 1764 – 1386 = 378$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১২। চিত্ৰত $OACB$ এটা চতুৰ্থাংশ যাৰ কেন্দ্ৰ $O$ আৰু ব্যাসাৰ্ধ ৩.৫ ছে.মি.। যদি $OD = 2$ ছে.মি. তেন্তে — (i) চতুৰ্থাংশৰ কালি (ii) ছাঁ পৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (i) $A = \tfrac{1}{4}\pi r^2 = \tfrac{1}{4}\times \tfrac{22}{7}\times 12.25 = \tfrac{77}{8} = 9.625$ ব.ছে.মি.।
(ii) $\triangle BOD$-ৰ কালি $= \tfrac{1}{2}\times 3.5\times 2 = 3.5$ ব.ছে.মি.।
ছাঁ পৰা অংশৰ কালি $= 9.625 – 3.5 = 6.125$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১৩। চিত্ৰত $AB$ আৰু $CD$ ক্ৰমে ২১ ছে.মি. আৰু ৭ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা চতুৰ্থাংশৰ দুডাল চাপ আৰু কেন্দ্ৰত $30°$ কোণ উৎপন্ন কৰিছে। ছাঁ পৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $A = \tfrac{30}{360}\times \pi(R^2 – r^2) = \tfrac{1}{12}\times \tfrac{22}{7}(441-49) = \tfrac{1}{12}\times \tfrac{22}{7}\times 392 = \tfrac{308}{3} \approx 102.67$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১৪। চিত্ৰত $ABC$ এটা চতুৰ্থাংশ যাৰ ব্যাসাৰ্ধ ১৪ ছে.মি. আৰু $BC$ ব্যাস হিচাপে ভিতৰত এটা অৰ্ধবৃত্তও আঁকা হৈছে। ছাঁ পৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\triangle ABC$ সমকোণী ($\angle A = 90°$), $AB = AC = 14$, $BC = 14\sqrt{2}$।
চতুৰ্থাংশৰ কালি $= \tfrac{1}{4}\pi\times 14^2 = 154$ ব.ছে.মি.।
$\triangle ABC$-ৰ কালি $= \tfrac{1}{2}\times 14\times 14 = 98$ ব.ছে.মি.।
$BC$-ৰ ওপৰৰ অৰ্ধবৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $= 7\sqrt{2}$; কালি $= \tfrac{1}{2}\times \tfrac{22}{7}\times 98 = 154$ ব.ছে.মি.।
ছাঁ পৰা অংশ $= 154 – (154-98) = 98$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১৫। চিত্ৰত $ABCD$ এটা ১৪ ছে.মি. বাহুৰ বৰ্গ যাৰ মাজত $AC$ আৰু $BD$ কৰ্ণৰ ওপৰত দুটা চাপ আঁকা হৈছে। ছাঁ পৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ দুটা চতুৰ্থাংশৰ মুঠ কালি $= 2\times \tfrac{1}{4}\pi\times 14^2 = \tfrac{22}{7}\times 98 = 308$ ব.ছে.মি.।
বৰ্গৰ কালি $= 196$ ব.ছে.মি.।
ছাঁ পৰা অংশ (পাঁহিৰ আকৃতি) $= 308 – 196 = 112$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১৬। চিত্ৰত $\triangle ABC$ সমকোণী ত্ৰিভুজ য’ত $\angle C = 90°$ আৰু $AC = BC = 4$ ছে.মি.। ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো বাহুক ব্যাস হিচাপে অৰ্ধবৃত্ত আঁকা হ’লে ছাঁ পৰা ডিজাইনৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $AB = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$।
ত্ৰিভুজৰ কালি $= \tfrac{1}{2}\times 4\times 4 = 8$ ব.ছে.মি.।
$AC$ আৰু $BC$ -ত অৰ্ধবৃত্ত (ব্যাসাৰ্ধ $2$): কালি $= 2\times \tfrac{1}{2}\pi\times 4 = 4\pi$ ব.ছে.মি.।
$AB$-ত অৰ্ধবৃত্ত (ব্যাসাৰ্ধ $2\sqrt{2}$): কালি $= \tfrac{1}{2}\pi\times 8 = 4\pi$ ব.ছে.মি.।
ছাঁ পৰা অংশ $= (4\pi – 4\pi) + 8 = 8$ ব.ছে.মি.।
অতিৰিক্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰশ্ন (Additional Important Questions)
প্ৰশ্ন ১। এটা বৃত্তৰ পৰিধি ৪৪ ছে.মি. হ’লে কালি কিমান?
উত্তৰঃ $2\pi r = 44 \Rightarrow r = 7$; কালি $= \tfrac{22}{7}\times 49 = 154$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ২। এটা বৃত্তৰ কালি ১৫৪ ব.ছে.মি. হ’লে ব্যাসাৰ্ধ আৰু পৰিধি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r = 7$ ছে.মি., পৰিধি $= 44$ ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৩। ৭ মিটাৰ ব্যাসৰ এটা গোলাকাৰ পুখুৰীৰ চাৰিওপাশে ৩.৫ মিটাৰ প্ৰস্থৰ এটা পদচাৰীপথ আছে। পদচাৰীপথৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r=3.5$, $R=7$।
কালি $= \pi(R^2 – r^2) = \tfrac{22}{7}(49 – 12.25) = \tfrac{22}{7}\times 36.75 = 115.5$ ব.মি.।
প্ৰশ্ন ৪। এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ ১৪ ছে.মি. আৰু চাপৰ দৈৰ্ঘ্য ২২ ছে.মি.। সংশ্লিষ্ট বৃত্তকলাৰ কালি কিমান?
উত্তৰঃ $A = \tfrac{1}{2}r\ell = \tfrac{1}{2}\times 14\times 22 = 154$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৫। এটা ঘড়ীৰ মিনিটৰ কাঁটাটোৰ দৈৰ্ঘ্য ৭ ছে.মি.। এই কাঁটাই এঘণ্টাত যিমান কালি অতিক্ৰম কৰে নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ এঘণ্টাত $\theta = 360°$, কালি $= \pi r^2 = \tfrac{22}{7}\times 49 = 154$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৬। এটা বৃত্তাকাৰ চক্ৰৰ পৰিধি ৮৮ ছে.মি.। চক্ৰটোৱে ১ কি.মি. দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ কেইটা আৱৰ্তন কৰিব?
উত্তৰঃ $\tfrac{100000}{88} = 1136.36$, অৰ্থাৎ প্ৰায় ১১৩৭ আৱৰ্তন।
প্ৰশ্ন ৭। এটা বৃত্তৰ ব্যাস ১৪ ছে.মি.। ৪৫° কোণৰ বৃত্তকলাৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r=7$, $A=\tfrac{45}{360}\times \tfrac{22}{7}\times 49 = \tfrac{1}{8}\times 154 = 19.25$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৮। এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ ২১ ছে.মি.। ১২০° কোণৰ চাপৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান?
উত্তৰঃ $\ell = \tfrac{120}{360}\times 2\times \tfrac{22}{7}\times 21 = \tfrac{1}{3}\times 132 = 44$ ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৯। ১০৫° কোণৰ এটা বৃত্তকলাৰ কালি ৩৮.৫ ব.ছে.মি. হ’লে বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\tfrac{105}{360}\times \tfrac{22}{7}\times r^2 = 38.5 \Rightarrow \tfrac{r^2}{12}\times 11 = 38.5 \Rightarrow r^2 = \tfrac{38.5\times 12}{11}=42 \Rightarrow r \approx 6.48$ ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১০। এটা সমকেন্দ্ৰিক বৃত্ত যোৰৰ ব্যাসাৰ্ধ ৩৪ ছে.মি. আৰু ২১ ছে.মি.। বলয়ৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ কালি $= \pi(34^2 – 21^2) = \tfrac{22}{7}(1156 – 441) = \tfrac{22}{7}\times 715 = 2247.14$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১১। ১৪ ছে.মি. বাহুৰ এটা বৰ্গাকাৰৰ ভিতৰত পূৰ্ণ মাত্ৰাত খোদিত হোৱা বৃত্তৰ কালি কিমান?
উত্তৰঃ বৃত্তৰ ব্যাস $=$ বৰ্গৰ বাহু $= 14$ ছে.মি., $r=7$।
বৃত্তৰ কালি $= \pi r^2 = \tfrac{22}{7}\times 49 = 154$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১২। ১৪ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তৰ চাৰিওফালে এটা বৰ্গাকাৰ আঁকা হ’ল। বৃত্ত আৰু বৰ্গৰ মাজৰ অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বৰ্গৰ বাহু $= 2r = 28$ ছে.মি.।
বৰ্গৰ কালি $= 28^2 = 784$ ব.ছে.মি.; বৃত্তৰ কালি $= \tfrac{22}{7}\times 196 = 616$ ব.ছে.মি.।
মাজৰ অংশৰ কালি $= 784 – 616 = 168$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১৩। এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ ১২ ছে.মি. আৰু এটা চাপৰ দৈৰ্ঘ্য $\tfrac{22}{3}\pi$ ছে.মি.। চাপটোৱে কেন্দ্ৰত উৎপন্ন কৰা কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\ell = \tfrac{\theta}{360°}\times 2\pi r$ সূত্ৰৰ পৰা $\tfrac{22\pi}{3} = \tfrac{\theta}{360}\times 24\pi \Rightarrow \theta = \tfrac{22\times 360}{3\times 24} = 110°$।
প্ৰশ্ন ১৪। এটা গাড়ীৰ চক্ৰৰ ব্যাসাৰ্ধ ০.৪ মিটাৰ। চক্ৰটোৱে ১ মিনিটত ৫০০ আৱৰ্তন কৰিলে গাড়ীৰ গতি (কি.মি./ঘণ্টা) নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ১ আৱৰ্তনত দূৰত্ব $= 2\pi r = 2\times \tfrac{22}{7}\times 0.4 = \tfrac{17.6}{7}$ মি.।
১ মিনিটত দূৰত্ব $= 500\times \tfrac{17.6}{7} = \tfrac{8800}{7}$ মি. $\approx 1257.14$ মি.।
গতি $= \tfrac{1257.14\times 60}{1000}$ কি.মি./ঘণ্টা $\approx 75.43$ কি.মি./ঘণ্টা।
প্ৰশ্ন ১৫। দুটা সমকেন্দ্ৰিক বৃত্তৰ পৰিধিৰ অনুপাত ২:৩। সিহঁতৰ কালিৰ অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ পৰিধিৰ অনুপাত $= \tfrac{r_1}{r_2} = \tfrac{2}{3}$ গতিকে কালিৰ অনুপাত $= \tfrac{r_1^2}{r_2^2} = \tfrac{4}{9}$।
প্ৰশ্ন ১৬। এটা বৃত্তৰ ব্যাসৰ এটা প্ৰান্ত বিন্দু $A(2,3)$ আৰু আনটো প্ৰান্ত বিন্দু $B(8,11)$। বৃত্তৰ কালি কিমান?
উত্তৰঃ $AB = \sqrt{(8-2)^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36+64} = 10$, $r = 5$।
কালি $= \pi r^2 = \tfrac{22}{7}\times 25 = \tfrac{550}{7} \approx 78.57$ ব.একক।
প্ৰশ্ন ১৭। এটা বৃত্তৰ পৰিধি $176$ ছে.মি. হ’লে বৃত্তখণ্ডটোৰ ব্যাসাৰ্ধ আৰু কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $2\pi r = 176 \Rightarrow r = \tfrac{176\times 7}{2\times 22} = 28$ ছে.মি.।
কালি $= \tfrac{22}{7}\times 784 = 2464$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১৮। ৭ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এটা চাপৰ দৈৰ্ঘ্য ৫.৫ ছে.মি.। সংশ্লিষ্ট বৃত্তকলাৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $A = \tfrac{1}{2}r\ell = \tfrac{1}{2}\times 7\times 5.5 = 19.25$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১৯। এটা বৃত্তৰ অৰ্ধেক চাপ আৰু এটা ব্যাসাৰে গঠিত অৰ্ধবৃত্তৰ পৰিসীমা ৩৬ ছে.মি.। বৃত্তৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\pi r + 2r = 36 \Rightarrow r(\tfrac{22}{7} + 2) = 36 \Rightarrow r\times \tfrac{36}{7} = 36 \Rightarrow r = 7$ ছে.মি.।
বৃত্তৰ কালি $= \tfrac{22}{7}\times 49 = 154$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ২০। এটা বৃত্তৰ কালি দ্বিগুণ কৰিলে নতুন বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ পূৰ্বৰ ব্যাসাৰ্ধৰ কেইগুণ?
উত্তৰঃ $\pi R^2 = 2\pi r^2 \Rightarrow R = \sqrt{2}\, r$, অৰ্থাৎ $\sqrt{2} \approx 1.414$ গুণ।
সমাধান কৌশল (Problem-solving Tips)
- প্ৰথমে দিয়া পৰিমাপসমূহ স্পষ্টকৈ চিহ্নিত কৰা — ব্যাসাৰ্ধ ($r$), কোণ ($\theta$), ব্যাস ($d$), পৰিধি ইত্যাদি।
- চক্ৰৰ আৱৰ্তন সম্বন্ধীয় সমস্যাত — মুঠ দূৰত্বক পৰিধিৰে ভাগ কৰিলে আৱৰ্তন সংখ্যা পোৱা যায়।
- সংযুক্ত আকৃতিৰ ক্ষেত্ৰত — মুঠ কালি নিৰ্ণয়ৰ পিছত আঁতৰ কৰিব লগা অংশৰ কালি বিয়োগ কৰিব লাগে।
- $\theta$ যদি $60°$ হয় তেন্তে $\triangle OAB$ সমবাহু (যিহেতু $OA = OB = r$); ইয়াৰ কালি $= \tfrac{\sqrt{3}}{4}r^2$।
- $\theta$ যদি $90°$ হয় তেন্তে $\triangle OAB$ সমকোণী সমদ্বিবাহু; ইয়াৰ কালি $= \tfrac{1}{2}r^2$।
- সাধাৰণতে $\pi = \tfrac{22}{7}$ ব্যৱহাৰ কৰক যদি প্ৰশ্নত $\pi=3.14$ স্পষ্টকৈ লোৱা হোৱা নাই।
- একক সততে মিল ৰাখক — সকলো ছে.মি. বা সকলো মিটাৰত আনিব লাগে।
- ঘড়ীৰ মিনিটৰ কাঁটাই ১ মিনিটত $6°$, ৫ মিনিটত $30°$ ঘূৰে; ঘণ্টাৰ কাঁটাই ১ ঘণ্টাত $30°$ ঘূৰে।
পৰীক্ষাত আহিব পৰা সম্ভাৱ্য MCQ
১। এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ দ্বিগুণ কৰিলে কালি কেইগুণ হ’ব?
(A) ২ গুণ (B) ৩ গুণ (C) ৪ গুণ (D) ৮ গুণ
উত্তৰঃ (C) ৪ গুণ। কাৰণ $A \propto r^2$।
২। এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ ৭ ছে.মি. হ’লে ৬০° কোণৰ চাপৰ দৈৰ্ঘ্য —
(A) ৭.৩৩ ছে.মি. (B) ৭.৬৬ ছে.মি. (C) ৭.৩৩ ছে.মি. (D) ১৪.৬৬ ছে.মি.
উত্তৰঃ $\ell = \tfrac{60}{360}\times 2\times \tfrac{22}{7}\times 7 = \tfrac{22}{3} \approx 7.33$ ছে.মি.। সঠিক উত্তৰ (A)।
৩। এটা বৃত্তৰ ব্যাস ১৪ ছে.মি. হ’লে ইয়াৰ কালি —
(A) ১৫৪ ব.ছে.মি. (B) ৪৪ ব.ছে.মি. (C) ৬১৬ ব.ছে.মি. (D) ৭৭ ব.ছে.মি.
উত্তৰঃ $r=7$, $A = \tfrac{22}{7}\times 49 = 154$। সঠিক উত্তৰ (A) ১৫৪ ব.ছে.মি.।
৪। এটা চক্ৰই ১ আৱৰ্তনত ৪৪ ছে.মি. দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰে। চক্ৰৰ ব্যাসাৰ্ধ —
(A) ৭ ছে.মি. (B) ১৪ ছে.মি. (C) ২২ ছে.মি. (D) ১১ ছে.মি.
উত্তৰঃ $2\pi r = 44 \Rightarrow r = 7$ ছে.মি.। সঠিক উত্তৰ (A)।
৫। বৃত্তৰ অৰ্ধবৃত্তৰ পৰিসীমাৰ সূত্ৰ —
(A) $\pi r$ (B) $2\pi r$ (C) $\pi r + 2r$ (D) $\pi r + r$
উত্তৰঃ (C) $\pi r + 2r$।
সংক্ষিপ্ত উত্তৰৰ প্ৰশ্ন (Short Answer Questions)
প্ৰশ্ন ১। এটা বৃত্তৰ পৰিধি ৩১.৪ ছে.মি. হ’লে ব্যাসাৰ্ধ আৰু কালি নিৰ্ণয় কৰা। ($\pi=3.14$)
উত্তৰঃ $2\times 3.14\times r = 31.4 \Rightarrow r = 5$ ছে.মি.; কালি $= 3.14\times 25 = 78.5$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ২। এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ এটা বৰ্গৰ বাহুৰ সমান। বৃত্তৰ কালি আৰু বৰ্গৰ কালিৰ অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বৃত্তৰ কালি : বৰ্গৰ কালি $= \pi r^2 : r^2 = \pi : 1 = 22:7$।
প্ৰশ্ন ৩। এটা ঘড়ীৰ ঘণ্টাৰ কাঁটাটো ৪.২ ছে.মি. দীঘল। কাঁটাটোৱে ১২ ঘণ্টাত যিমান কালি অতিক্ৰম কৰে নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ১২ ঘণ্টাত $\theta = 360°$, কালি $= \pi r^2 = \tfrac{22}{7}\times 17.64 = \tfrac{388.08}{7} = 55.44$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৪। এটা পথাৰৰ পৰিধি $352$ মি.। এটা ছাগলীক $7$ মি. দীঘল ৰছীৰে পথাৰৰ এটা বিন্দুত বান্ধি দিলে। ছাগলীটোৱে চৰিব পৰা কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ছাগলীয়ে চৰিব পৰা অংশ এটা সম্পূৰ্ণ বৃত্ত (যদি বাধাহীন), $A = \pi\times 49 = 154$ ব.মি.।
প্ৰশ্ন ৫। ৩০° কেন্দ্ৰীয় কোণযুক্ত ১২ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ চাপৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান?
উত্তৰঃ $\ell = \tfrac{30}{360}\times 2\times \tfrac{22}{7}\times 12 = \tfrac{1}{12}\times \tfrac{528}{7} = \tfrac{44}{7} \approx 6.29$ ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৬। ৬০° কোণযুক্ত এটা বৃত্তকলাৰ কালি ২৩১ ব.ছে.মি. হ’লে বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\tfrac{60}{360}\times \tfrac{22}{7}\times r^2 = 231 \Rightarrow \tfrac{11 r^2}{21} = 231 \Rightarrow r^2 = \tfrac{231\times 21}{11} = 441 \Rightarrow r = 21$ ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৭। ৭ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ চাৰিওফালে এটা বৰ্গাকাৰ আঁকা হ’ল। বৃত্ত আৰু বৰ্গৰ মাজত থকা ৪টা চুকৰ মুঠ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বৰ্গৰ বাহু $= 14$, কালি $= 196$ ব.ছে.মি.; বৃত্তৰ কালি $= 154$ ব.ছে.মি.।
৪টা চুকৰ কালি $= 196 – 154 = 42$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৮। এটা সমকেন্দ্ৰিক বলয়ৰ ভিতৰৰ ব্যাসাৰ্ধ ১৪ ছে.মি. আৰু পৰিধিৰ পাৰ্থক্য ৪৪ ছে.মি.। বলয়ৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $2\pi(R – r) = 44 \Rightarrow R – r = 7 \Rightarrow R = 21$।
বলয়ৰ কালি $= \pi(R^2 – r^2) = \tfrac{22}{7}(441 – 196) = \tfrac{22}{7}\times 245 = 770$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৯। ৪২ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তৰ এটা বৃত্তকলাৰ কোণ ৬০°। বৃত্তকলাৰ পৰিসীমা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ চাপৰ দৈৰ্ঘ্য $= \tfrac{60}{360}\times 2\times \tfrac{22}{7}\times 42 = 44$ ছে.মি.।
পৰিসীমা $= 2r + \ell = 84 + 44 = 128$ ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ১০। এটা বৃত্তৰ ক্ষেত্ৰৰ চতুৰ্থাংশৰ পৰিসীমা ৩৭.৫ ছে.মি. হ’লে ব্যাসাৰ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ চতুৰ্থাংশৰ পৰিসীমা $= 2r + \tfrac{1}{4}\times 2\pi r = 2r + \tfrac{\pi r}{2} = r(2 + \tfrac{11}{7}) = r\times \tfrac{25}{7}$।
$\tfrac{25 r}{7} = 37.5 \Rightarrow r = \tfrac{37.5\times 7}{25} = 10.5$ ছে.মি.।
দীঘলীয়া উত্তৰৰ প্ৰশ্ন (Long Answer Questions)
প্ৰশ্ন ১। এটা ত্ৰিভুজৰ বাহু $a, b, c$। প্ৰতিটো শীৰ্ষৰ কেন্দ্ৰত $r$ ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত আঁকা হ’লে ত্ৰিভুজৰ ভিতৰৰ ৩টা বৃত্তকলাৰ মুঠ কালিৰ সূত্ৰ লিখা।
উত্তৰঃ ত্ৰিভুজৰ ভিতৰৰ কোণসমূহৰ যোগফল $180°$, গতিকে ৩টা বৃত্তকলাৰ মুঠ কোণ $180°$।
$$A_{\text{total}} = \frac{180°}{360°}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi r^2$$
প্ৰশ্ন ২। ১৪ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এটা চাপ আৰু সংশ্লিষ্ট জ্যাই কেন্দ্ৰত ৯০° কোণ উৎপন্ন কৰিছে। বৃত্তখণ্ডৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বৃত্তকলাৰ কালি $= \tfrac{90}{360}\times \tfrac{22}{7}\times 196 = 154$ ব.ছে.মি.।
$\triangle OAB$-ৰ কালি $= \tfrac{1}{2}\times 14\times 14 = 98$ ব.ছে.মি.।
লঘু বৃত্তখণ্ডৰ কালি $= 154 – 98 = 56$ ব.ছে.মি.।
গুৰু বৃত্তখণ্ডৰ কালি $= \pi r^2 – 56 = 616 – 56 = 560$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৩। এটা সমকোণী ত্ৰিভুজত $\angle B = 90°$, $AB = 6$ ছে.মি., $BC = 8$ ছে.মি.। প্ৰতিটো শীৰ্ষক কেন্দ্ৰ কৰি ১.৫ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটাকৈ বৃত্ত আঁকা হ’ল। ত্ৰিভুজৰ ভিতৰত থকা বৃত্তকলাৰ মুঠ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ৩টা বৃত্তকলাৰ মুঠ কোণ $= 180°$।
মুঠ কালি $= \tfrac{180}{360}\times \pi\times 1.5^2 = \tfrac{1}{2}\times \tfrac{22}{7}\times 2.25 = \tfrac{49.5}{14} = 3.535…$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৪। এটা চক্ৰৰ ব্যাস ৬০ ছে.মি. আৰু ই ১ ঘণ্টাত $৪২$ কি.মি. গতিৰে ঘূৰিছে। চক্ৰটোৱে প্ৰতি মিনিটত কেইটা আৱৰ্তন কৰিব?
উত্তৰঃ চক্ৰৰ পৰিধি $= \pi\times 60 = \tfrac{22}{7}\times 60 = \tfrac{1320}{7}$ ছে.মি.।
১ মিনিটৰ দূৰত্ব $= \tfrac{42}{60}$ কি.মি. $= \tfrac{42\times 100000}{60} = 70000$ ছে.মি.।
আৱৰ্তন সংখ্যা $= \tfrac{70000\times 7}{1320} = \tfrac{490000}{1320} \approx 371.21$ আৱৰ্তন।
প্ৰশ্ন ৫। সমকেন্দ্ৰিক দুটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ যথাক্ৰমে $5$ ছে.মি. আৰু $9$ ছে.মি.। বৃত্ত দুটাৰ চাৰিওপাশে এটা বৰ্গাকাৰ আঁকিলে বৰ্গৰ মুঠ অনাবৃত অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বৰ্গৰ বাহু $= 18$ ছে.মি.; কালি $= 324$ ব.ছে.মি.।
ডাঙৰ বৃত্তৰ কালি $= \pi\times 81 = \tfrac{1782}{7} \approx 254.57$ ব.ছে.মি.।
অনাবৃত (বৰ্গ মাইনাছ ডাঙৰ বৃত্ত) $\approx 324 – 254.57 = 69.43$ ব.ছে.মি.।
True/False প্ৰশ্ন
- বৃত্তৰ পৰিধিৰ সূত্ৰ $\pi d$ — সঠিক ($d = 2r$)।
- সমান পৰিধিৰ দুটা বৃত্তৰ কালিও সমান — সঠিক।
- বৃত্তকলাৰ কালি $= \tfrac{1}{2} r\ell$ — সঠিক।
- $\theta = 60°$ হ’লে $\triangle OAB$ সদায় সমকোণী — ভুল (সমবাহু)।
- বলয়ৰ কালি $= \pi(R+r)$ — ভুল; প্ৰকৃত সূত্ৰ $\pi(R^2 – r^2)$।
- মিনিটৰ কাঁটাই ১ ঘণ্টাত $360°$ ঘূৰে — সঠিক।
খালী ঠাই পূৰণ (Fill in the Blanks)
- বৃত্তৰ পৰিধি $= \underline{\,2\pi r\,}$।
- বৃত্তৰ কালি $= \underline{\,\pi r^2\,}$।
- $\theta$ কোণৰ চাপৰ দৈৰ্ঘ্য $= \underline{\,\tfrac{\theta}{360°}\times 2\pi r\,}$।
- বৃত্তখণ্ডৰ কালি $=$ বৃত্তকলাৰ কালি $- \underline{\,\text{ত্ৰিভুজৰ কালি}\,}$।
- $\pi$ ৰ আনুমানিক মান $= \underline{\,\tfrac{22}{7}\,}$।
- বলয়ৰ কালি $= \pi(\underline{\,R^2 – r^2\,})$।
শব্দাৰ্থ (Glossary)
| অসমীয়া শব্দ | English Term |
|---|---|
| বৃত্ত | Circle |
| ব্যাসাৰ্ধ | Radius |
| ব্যাস | Diameter |
| পৰিধি | Circumference |
| কালি | Area |
| চাপ | Arc |
| জ্যা | Chord |
| বৃত্তকলা | Sector |
| বৃত্তখণ্ড | Segment |
| লঘু বৃত্তখণ্ড | Minor Segment |
| গুৰু বৃত্তখণ্ড | Major Segment |
| চতুৰ্থাংশ | Quadrant |
| অৰ্ধবৃত্ত | Semicircle |
| সমকেন্দ্ৰিক বৃত্ত | Concentric Circles |
| বলয় | Annular Ring |
| আৱৰ্তন | Revolution |
| সমবাহু ত্ৰিভুজ | Equilateral Triangle |
| দৌৰপথ | Race-track |
| সংযুক্ত আকৃতি | Combination of Plane Figures |
উদাহৰণসহ সংযুক্ত আকৃতিৰ কালি (Worked Examples — Combinations)
উদাহৰণ ১। ৭ ছে.মি. বাহুৰ এটা বৰ্গৰ অভ্যন্তৰ পূৰ্ণ মাত্ৰাত খোদিত হোৱা বৃত্তটোৰ কালি কিমান, আৰু বৃত্ত আৰু বৰ্গৰ মাজৰ অংশৰ কালি কিমান?
উত্তৰঃ বৃত্তৰ ব্যাস $= 7$ ছে.মি., $r = 3.5$।
বৃত্তৰ কালি $= \tfrac{22}{7}\times 12.25 = 38.5$ ব.ছে.মি.।
বৰ্গৰ কালি $= 49$ ব.ছে.মি.; অনাবৃত $= 49 – 38.5 = 10.5$ ব.ছে.মি.।
উদাহৰণ ২। ১৪ ছে.মি. দীঘল আৰু ৭ ছে.মি. প্ৰস্থৰ এটা আয়তত প্ৰস্থৰ ওপৰত অৰ্ধবৃত্ত আঁকা হ’লে মুঠ আকৃতিৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ আয়তৰ কালি $= 14\times 7 = 98$ ব.ছে.মি.।
অৰ্ধবৃত্ত: ব্যাসাৰ্ধ $= 3.5$, কালি $= \tfrac{1}{2}\times \tfrac{22}{7}\times 12.25 = 19.25$ ব.ছে.মি.।
মুঠ কালি $= 98 + 19.25 = 117.25$ ব.ছে.মি.।
উদাহৰণ ৩। ১২ ছে.মি. বাহুৰ সমবাহু ত্ৰিভুজৰ কেন্দ্ৰৰ চাৰিওফালে এটা বৃত্ত আঁকা হ’ল যিয়ে সকলো বাহু স্পৰ্শ কৰে। বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ আৰু কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ সমবাহু ত্ৰিভুজৰ ভিতৰৰ বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $r = \tfrac{a}{2\sqrt{3}} = \tfrac{12}{2\sqrt{3}} = \tfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ ছে.মি.।
কালি $= \pi r^2 = \tfrac{22}{7}\times 12 = \tfrac{264}{7} \approx 37.71$ ব.ছে.মি.।
উদাহৰণ ৪। ১২ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ ভিতৰত এটা বৰ্গ পূৰ্ণমাত্ৰাত খোদিত। বৰ্গৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বৰ্গৰ কৰ্ণ $=$ বৃত্তৰ ব্যাস $= 24$ ছে.মি.।
বৰ্গৰ কালি $= \tfrac{1}{2}\times d^2 = \tfrac{1}{2}\times 576 = 288$ ব.ছে.মি.।
উদাহৰণ ৫। এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ ১৪ ছে.মি.। বৃত্তৰ ভিতৰত এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ পূৰ্ণমাত্ৰাত খোদিত। ত্ৰিভুজৰ কালি আৰু পৰিসীমা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ পৰিকেন্দ্ৰৰ ব্যাসাৰ্ধ আৰু সমবাহু ত্ৰিভুজৰ বাহুৰ সম্পৰ্ক $R = \tfrac{a}{\sqrt{3}}$।
$a = 14\sqrt{3}$ ছে.মি.; পৰিসীমা $= 3a = 42\sqrt{3} \approx 72.74$ ছে.মি.।
কালি $= \tfrac{\sqrt{3}}{4}\times (14\sqrt{3})^2 = \tfrac{\sqrt{3}}{4}\times 588 = 147\sqrt{3} \approx 254.6$ ব.ছে.মি.।
উদাহৰণ ৬। ৪২ ছে.মি. বাহুৰ এটা বৰ্গাকাৰ ফুলৰ বাগিচাৰ চাৰিওচুকত ৭ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ চতুৰ্থাংশ পথ বনোৱা হ’ল। অৱশিষ্ট অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বৰ্গৰ কালি $= 1764$ ব.ছে.মি.।
৪টা চতুৰ্থাংশৰ মুঠ $= \pi r^2 = \tfrac{22}{7}\times 49 = 154$ ব.ছে.মি.।
অৱশিষ্ট কালি $= 1764 – 154 = 1610$ ব.ছে.মি.।
সূত্ৰৰ পুনৰাবৃত্তি (Formula Recap)
| আকৃতি | পৰিসীমা / পৰিধি | কালি |
|---|---|---|
| সম্পূৰ্ণ বৃত্ত | $2\pi r$ | $\pi r^2$ |
| অৰ্ধবৃত্ত | $\pi r + 2r$ | $\tfrac{1}{2}\pi r^2$ |
| চতুৰ্থাংশ | $\tfrac{\pi r}{2} + 2r$ | $\tfrac{1}{4}\pi r^2$ |
| বৃত্তকলা | $\tfrac{\theta}{360°}\times 2\pi r + 2r$ | $\tfrac{\theta}{360°}\pi r^2$ |
| বৃত্তখণ্ড (লঘু) | চাপ + জ্যা | সেক্টৰ − ত্ৰিভুজ |
| বৰ্গ | $4a$ | $a^2$ |
| আয়ত | $2(\ell + b)$ | $\ell\times b$ |
| সমবাহু ত্ৰিভুজ | $3a$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$ |
| সমকোণী ত্ৰিভুজ | $a + b + c$ | $\tfrac{1}{2}\times \text{ভূমি}\times \text{উচ্চতা}$ |
| বলয় | $2\pi(R+r)$ | $\pi(R^2 – r^2)$ |
HSLC পৰীক্ষাত আহিব পৰা সম্ভাৱ্য বহু নম্বৰৰ প্ৰশ্ন
প্ৰশ্ন ১। ১৪ ছে.মি. বাহুৰ এটা বৰ্গৰ ভিতৰত পূৰ্ণমাত্ৰাত খোদিত হোৱা বৃত্ত আৰু বৃত্তৰ ভিতৰত পূৰ্ণমাত্ৰাত খোদিত হোৱা বৰ্গৰ মাজৰ অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ডাঙৰ বৰ্গৰ কালি $= 196$ ব.ছে.মি.; বৃত্তৰ ব্যাস $= 14$, কালি $= 154$ ব.ছে.মি.।
বৃত্তৰ ভিতৰৰ বৰ্গৰ কৰ্ণ $= 14$, বাহু $= \tfrac{14}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2}$, কালি $= 98$ ব.ছে.মি.।
ডাঙৰ বৰ্গ আৰু বৃত্তৰ মাজৰ কালি $= 196 – 154 = 42$ ব.ছে.মি.।
বৃত্ত আৰু সৰু বৰ্গৰ মাজৰ কালি $= 154 – 98 = 56$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ২। ২২ মি. দীঘল আৰু ৭ মি. প্ৰস্থৰ এটা আয়তাকাৰ পথাৰৰ চাৰিও চুকত ৩.৫ মি. ব্যাসাৰ্ধৰ চতুৰ্থাংশ ফুলবাৰী আছে। অৱশিষ্ট পথাৰৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ পথাৰৰ কালি $= 22\times 7 = 154$ ব.মি.।
৪টা চতুৰ্থাংশ মিলি ১টা সম্পূৰ্ণ বৃত্ত: $\pi\times 3.5^2 = \tfrac{22}{7}\times 12.25 = 38.5$ ব.মি.।
অৱশিষ্ট কালি $= 154 – 38.5 = 115.5$ ব.মি.।
প্ৰশ্ন ৩। এখন বাচৰ চাৰিটা চক্ৰৰ ব্যাসাৰ্ধ ০.৭ মিটাৰকৈ। বাচখনে ১ ঘণ্টাত ৬৬ কি.মি. গতিৰে গ’লে প্ৰতিটো চক্ৰই ১ মিনিটত কেইটা আৱৰ্তন কৰিব?
উত্তৰঃ চক্ৰৰ পৰিধি $= 2\pi r = 2\times \tfrac{22}{7}\times 0.7 = 4.4$ মি.।
১ মিনিটত দূৰত্ব $= \tfrac{66\times 1000}{60} = 1100$ মি.।
আৱৰ্তন সংখ্যা $= \tfrac{1100}{4.4} = 250$ আৱৰ্তন।
প্ৰশ্ন ৪। এটা সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ $ABC$-ৰ $\angle A = 90°$ আৰু $AB = AC = 14$ ছে.মি.। ভূজ $BC$-ক ব্যাস হিচাপে এটা অৰ্ধবৃত্ত আঁকা হ’ল। ত্ৰিভুজৰ বাহিৰৰ অংশ আৰু অৰ্ধবৃত্তৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $BC = 14\sqrt{2}$, $r = 7\sqrt{2}$।
অৰ্ধবৃত্তৰ কালি $= \tfrac{1}{2}\pi(7\sqrt{2})^2 = \tfrac{1}{2}\times \tfrac{22}{7}\times 98 = 154$ ব.ছে.মি.।
ত্ৰিভুজৰ কালি $= \tfrac{1}{2}\times 14\times 14 = 98$ ব.ছে.মি.।
ত্ৰিভুজৰ বাহিৰৰ (অৰ্ধবৃত্ত মাইনাছ ত্ৰিভুজ) অংশ $= 154 – 98 = 56$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ৫। দুটা সমকেন্দ্ৰিক বৃত্তৰ ভিতৰৰটোৰ ব্যাসাৰ্ধ ৭ ছে.মি. আৰু বাহিৰৰটোৰ পৰিধি $66$ ছে.মি.। বলয়ৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $2\pi R = 66 \Rightarrow R = \tfrac{66\times 7}{2\times 22} = 10.5$ ছে.মি.।
বলয়ৰ কালি $= \pi(R^2 – r^2) = \tfrac{22}{7}(110.25 – 49) = \tfrac{22}{7}\times 61.25 = 192.5$ ব.ছে.মি.।
চিন্তাৰ প্ৰশ্ন (Higher Order Thinking Questions)
প্ৰশ্ন ১। তিনিটা সমান বৃত্ত ইজনে সিজনে স্পৰ্শ কৰি আছে। প্ৰতিটোৰ ব্যাসাৰ্ধ $7$ ছে.মি.। তিনিটা বৃত্তে আৱৰি ৰখা ভিতৰৰ অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ তিনিটা কেন্দ্ৰে এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ গঠন কৰে যাৰ বাহু $= 2r = 14$ ছে.মি.।
ত্ৰিভুজৰ কালি $= \tfrac{\sqrt{3}}{4}\times 196 = 49\sqrt{3} \approx 84.87$ ব.ছে.মি.।
৩টা বৃত্তকলাৰ মুঠ কোণ $= 180°$, কালি $= \tfrac{1}{2}\pi r^2 = \tfrac{1}{2}\times \tfrac{22}{7}\times 49 = 77$ ব.ছে.মি.।
মাজৰ অংশৰ কালি $= 84.87 – 77 = 7.87$ ব.ছে.মি.।
প্ৰশ্ন ২। এটা বৃত্তৰ ভিতৰত $90°$, $30°$ আৰু $60°$ কোণৰ তিনিটা বৃত্তকলা আৰু বাকী অংশ আছে। বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $14$ ছে.মি. হ’লে প্ৰতিটো বৃত্তকলাৰ কালি আৰু বাকী অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বাকী অংশৰ কোণ $= 360 – (90+30+60) = 180°$।
$90°$ বৃত্তকলা: $\tfrac{1}{4}\times \tfrac{22}{7}\times 196 = 154$ ব.ছে.মি.।
$30°$ বৃত্তকলা: $\tfrac{1}{12}\times \tfrac{22}{7}\times 196 = \tfrac{154}{3} \approx 51.33$ ব.ছে.মি.।
$60°$ বৃত্তকলা: $\tfrac{1}{6}\times \tfrac{22}{7}\times 196 = \tfrac{308}{3} \approx 102.67$ ব.ছে.মি.।
$180°$ বাকী অংশ (অৰ্ধবৃত্ত): $\tfrac{1}{2}\times \tfrac{22}{7}\times 196 = 308$ ব.ছে.মি.।
মুঠ যোগফল $= 616$ ব.ছে.মি. $=$ সম্পূৰ্ণ বৃত্তৰ কালি, সঠিক।
উপসংহাৰ (Conclusion)
HSLC GURU-ৰ এই পাঠত আমি ASSEB দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ অধ্যায় ১২ “বৃত্ত সম্বন্ধীয় কালি”-ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান অধ্যয়ন কৰিলোঁ। অনুশীলনী ১২.১, ১২.২ আৰু ১২.৩-ৰ প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ সমাধান সহজ ভাষাত আৰু বিশদ গণনাৰ সৈতে দিয়া হৈছে। অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন, MCQ, true/false আৰু খালী ঠাই পূৰণৰ অভ্যাসৰ জৰিয়তে শিক্ষাৰ্থীয়ে নিজৰ ধাৰণা সুদৃঢ় কৰিব পাৰিব।
সকলো সূত্ৰ মুখস্থ কৰি, বৃত্তকলা আৰু বৃত্তখণ্ডৰ পাৰ্থক্য বুজি, প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ চিত্ৰ স্পষ্টকৈ আঁকি সমাধান কৰিলে HSLC পৰীক্ষাত এই অধ্যায়ৰ পৰা পূৰ্ণ নম্বৰ লাভ কৰা সম্ভৱ। শুভকামনা!