HSLC Guru

Class 10 Mathematics Chapter 11 Question Answer | অংকন | ASSEB

নমস্কাৰ প্ৰিয় ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকল! HSLC GURU-লৈ স্বাগতম। এই পাঠত আমি ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা বোৰ্ড) দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ একাদশ অধ্যায় — অংকন (Constructions)ৰ সম্পূৰ্ণ অধ্যয়ন কৰিম। নৱম শ্ৰেণীত আমি স্কেল আৰু কম্পাছ ব্যৱহাৰ কৰি কিছুমান মৌলিক অংকন (যেনে কোণৰ সমদ্বিখণ্ডন, ৰেখাখণ্ডৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক, ত্ৰিভুজ অংকন আদি) শিকিছিলোঁ। এই অধ্যায়ত আমি তাতকৈ অলপ জটিল তিনিটা মূল অংকন—(i) ৰেখাখণ্ডৰ এটা প্ৰদত্ত অনুপাতত বিভাজন, (ii) প্ৰদত্ত ত্ৰিভুজৰ সদৃশ ত্ৰিভুজ অংকন (স্কেল ফেক্টৰ $< 1$ আৰু $> 1$ দুয়োটা ক্ষেত্ৰত), আৰু (iii) বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা বৃত্তলৈ স্পৰ্শক অংকন—শিকিম। প্ৰত্যেক অংকনৰ বাবে ক্ৰমাংকিত পদক্ষেপ, যথাৰ্থতা (justification) আৰু পৰিষ্কাৰ চিত্ৰ দিয়া হ’ব।

সাৰাংশ (Summary)

এই অধ্যায়ত আমি স্কেল (ungraduated ruler) আৰু কম্পাছ (compass) মাত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি কেইটামান গুৰুত্বপূৰ্ণ জ্যামিতিক গঠন কৰিম। অংকনৰ মূল কথা হ’ল—মাপৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ নকৰাকৈ, কেৱল স্কেলেৰে সৰল ৰেখা টানি আৰু কম্পাছেৰে চাপ (arc) কাটি একে কেন্দ্ৰ আৰু একে ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত আকৰ্ষণ কৰি কাঙ্ক্ষিত আকৃতিটো লাভ কৰা। এই কাৰণে অংকনত আঁকা প্ৰতিটো চাপ চিত্ৰত স্পষ্টকৈ ৰাখিব লাগে।

মূল তিনিটা অংকনৰ ভিতৰত প্ৰথমটো হ’ল ৰেখাখণ্ডৰ অনুপাত বিভাজন—এটা প্ৰদত্ত ৰেখাখণ্ড $AB$ক $m:n$ অনুপাতত ভাঙিবলৈ আমি $AB$ৰ এটা প্ৰান্তত এটা সূক্ষ্মকোণ গঠন কৰা ৰশ্মি (ray) টানি, সেই ৰশ্মিত $m+n$সংখ্যক সমান অংশ কাটি, পাছত সমান্তৰাল ৰেখাৰ বৈশিষ্ট্য (Basic Proportionality Theorem)ৰ সহায়ত বিভাজন বিন্দু পাওঁ। দ্বিতীয়টো হ’ল সদৃশ ত্ৰিভুজ অংকন—প্ৰদত্ত স্কেল ফেক্টৰ $\frac{m}{n}$ অনুসৰি, আগৰ ৰীতিৰ দৰেই ৰশ্মিত সমান অংশ কাটি, সমান্তৰাল ৰেখা টানি নতুন ত্ৰিভুজ গঠন কৰিম। তৃতীয়টো হ’ল বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শক অংকন—যিকোনো বহিঃস্থ বিন্দু $P$ৰ পৰা $O$ কেন্দ্ৰীয় বৃত্তলৈ স্পৰ্শক টানিবলৈ আমি $OP$ৰ মধ্যবিন্দু $M$ উলিয়াই, $M$ কেন্দ্ৰ আৰু $MP$ ব্যাসাৰ্ধৰে এটা সহায়ক বৃত্ত আঁকোঁ যিয়ে মূল বৃত্তক যি দুটা বিন্দুত ছেদ কৰে—সেই বিন্দু কেইটাই হৈছে স্পৰ্শ বিন্দু।

Summary: Chapter 11 of ASSEB Class 10 Mathematics deals with three key compass-and-ruler constructions—dividing a line segment in a given ratio $m:n$, constructing a triangle similar to a given triangle with a scale factor (less than or greater than 1), and drawing a pair of tangents to a circle from an external point. Each construction is justified using the Basic Proportionality Theorem and tangent-radius perpendicularity, ensuring that the resulting figure is geometrically exact rather than merely measured. Exercise 11.1 contains seven problems on segment division and similar triangles, while Exercise 11.2 contains seven problems on constructing tangents to circles in various configurations.

মূল ধাৰণাবোৰ (Key Concepts)

শব্দ (Term)অৰ্থ (Meaning)
অংকন (Construction)স্কেল আৰু কম্পাছেৰে এটা জ্যামিতিক চিত্ৰ একেবাৰে নিখুঁতভাৱে আঁকা।
ৰশ্মি (Ray)এটা বিন্দুৰ পৰা আৰম্ভ হৈ এটা দিশলৈ অসীমভাৱে যোৱা সৰল ৰেখা।
চাপ (Arc)কম্পাছেৰে আঁকিবলৈ পোৱা বৃত্তৰ অংশ।
সমান্তৰাল ৰেখাএটা সমতলত একে দিশৰ দুডাল ৰেখা যাৰ মাজৰ দূৰত্ব সদায় সমান।
স্পৰ্শক (Tangent)বৃত্তক ঠিক এটা বিন্দুতহে স্পৰ্শ কৰা সৰল ৰেখা।
স্পৰ্শ বিন্দুস্পৰ্শকে বৃত্তক যি বিন্দুত স্পৰ্শ কৰে।
স্কেল ফেক্টৰ (Scale factor)সদৃশ ত্ৰিভুজ দুটাৰ অনুৰূপ বাহুৰ অনুপাত $\frac{m}{n}$।
সদৃশ ত্ৰিভুজএকে আকৃতিৰ কিন্তু বেলেগ আকাৰৰ ত্ৰিভুজ; অনুৰূপ কোণ সমান, অনুৰূপ বাহু আনুপাতিক।
মৌলিক অনুপাত উপপাদ্য (BPT)ত্ৰিভুজৰ এটা বাহুৰ সমান্তৰাল ৰেখাই আন দুটা বাহুক একেই অনুপাতত বিভাজন কৰে।
লম্ব সমদ্বিখণ্ডকএটা ৰেখাখণ্ডৰ মধ্যবিন্দুৰ পৰা সিঁচৰিত সেই ৰেখাৰ লম্ব ৰেখা।

অংকন ১: ৰেখাখণ্ডৰ $m:n$ অনুপাতত বিভাজন

এটা প্ৰদত্ত ৰেখাখণ্ড $AB$ক $m:n$ অনুপাতত বিভাজন কৰিবলৈ (য’ত $m, n$ ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা)—

A B X A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 C m = 3 n = 5

অংকনৰ পদক্ষেপ (Steps of Construction)

  1. প্ৰদত্ত ৰেখাখণ্ড $AB$ আঁকা।
  2. $AB$ৰ এটা প্ৰান্ত $A$ত এটা সূক্ষ্মকোণ $\angle BAX$ গঠন কৰা ৰশ্মি $AX$ টানা।
  3. কম্পাছেৰে $AX$ ৰশ্মিত $(m+n)$ সংখ্যক সমান ৰেখাখণ্ড কাটি বিন্দু চিহ্নিত কৰা—$A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{m+n}$। অৰ্থাৎ $AA_1 = A_1A_2 = \cdots = A_{m+n-1}A_{m+n}$।
  4. শেষ বিন্দু $A_{m+n}$ক $B$ৰ সৈতে যোগ কৰি ৰেখা $A_{m+n}B$ টানা।
  5. বিন্দু $A_m$ৰে $A_{m+n}B$ৰ সমান্তৰাল এডাল ৰেখা টানা যিয়ে $AB$ক $C$ বিন্দুত ছেদ কৰে। তেতিয়াই $AC:CB = m:n$।

যথাৰ্থতা (Justification)

ত্ৰিভুজ $ABA_{m+n}$ত, $A_mC \parallel A_{m+n}B$ (অংকন অনুসৰি)। সেয়েহে মৌলিক অনুপাত উপপাদ্য (Basic Proportionality Theorem) অনুসৰি—

$$\frac{AC}{CB} = \frac{AA_m}{A_m A_{m+n}}$$

যিহেতু $AA_m$ত $m$টা সমান অংশ আছে আৰু $A_m A_{m+n}$ত $n$টা সমান অংশ আছে—

$$\frac{AA_m}{A_m A_{m+n}} = \frac{m}{n}$$

সেয়েহে $AC:CB = m:n$। (প্ৰমাণিত)

অংকন ২: প্ৰদত্ত ত্ৰিভুজৰ সদৃশ ত্ৰিভুজ অংকন (স্কেল ফেক্টৰ $\frac{m}{n} < 1$)

প্ৰদত্ত ত্ৰিভুজ $ABC$ৰ সদৃশ এটা ত্ৰিভুজ অংকন কৰিম যাৰ বাহুসমূহ $ABC$ৰ অনুৰূপ বাহুৰ $\frac{m}{n}$ অংশ (য’ত $m < n$)। উদাহৰণ স্বৰূপে $\frac{3}{4}$।

B C A X B1 B2 B3 B4 C’ A’

অংকনৰ পদক্ষেপ

  1. প্ৰদত্ত ত্ৰিভুজ $ABC$ আঁকা।
  2. $BC$ৰ এটা প্ৰান্ত $B$ত $BC$ৰ বিপৰীত ফালে এটা সূক্ষ্মকোণ $\angle CBX$ গঠন কৰা ৰশ্মি $BX$ টানা।
  3. $BX$ ৰশ্মিত $n$সংখ্যক সমান ৰেখাখণ্ড কাটি বিন্দু $B_1, B_2, \ldots, B_n$ চিহ্নিত কৰা। (এই উদাহৰণত $n=4$, সেয়ে $B_1, B_2, B_3, B_4$।)
  4. বিন্দু $B_n$ৰ পৰা $C$লৈ ৰেখা $B_n C$ টানা।
  5. বিন্দু $B_m$ৰে (এই উদাহৰণত $B_3$) $B_n C$ৰ সমান্তৰাল এডাল ৰেখা টানি $BC$ক $C’$ বিন্দুত ছেদ কৰোৱা।
  6. $C’$ৰ পৰা $CA$ৰ সমান্তৰাল এডাল ৰেখা টানি $BA$ক $A’$ বিন্দুত ছেদ কৰোৱা।
  7. ত্ৰিভুজ $A’BC’$ই হৈছে ত্ৰিভুজ $ABC$ৰ সদৃশ আকাঙ্ক্ষিত ত্ৰিভুজ যাৰ বাহুসমূহ $ABC$ৰ অনুৰূপ বাহুৰ $\frac{m}{n}$ গুণ।

যথাৰ্থতা

ত্ৰিভুজ $BCB_n$ত, $B_m C’ \parallel B_n C$। সেয়েহে BPT অনুসৰি—

$$\frac{BC’}{C’C} = \frac{BB_m}{B_m B_n} = \frac{m}{n-m}$$

সেয়েহে—

$$\frac{BC’}{BC} = \frac{BC’}{BC’ + C’C} = \frac{m}{m + (n-m)} = \frac{m}{n}$$

আকৌ $A’C’ \parallel AC$। সেয়েহে ত্ৰিভুজ $A’BC’ \sim$ ত্ৰিভুজ $ABC$ (AA সদৃশতাৰে)। গতিকে—

$$\frac{A’B}{AB} = \frac{BC’}{BC} = \frac{C’A’}{CA} = \frac{m}{n}$$

(প্ৰমাণিত)

অংকন ৩: প্ৰদত্ত ত্ৰিভুজৰ সদৃশ ত্ৰিভুজ অংকন (স্কেল ফেক্টৰ $\frac{m}{n} > 1$)

এতিয়া আমি প্ৰদত্ত ত্ৰিভুজ $ABC$ৰ অনুৰূপ বাহুৰ $\frac{m}{n}$ গুণ বাহুৰ এটা ডাঙৰ ত্ৰিভুজ অংকন কৰিম, য’ত $m > n$। উদাহৰণ স্বৰূপে $\frac{5}{3}$।

B C A X B1 B2 B3 B4 B5 C’ A’

অংকনৰ পদক্ষেপ

  1. প্ৰদত্ত ত্ৰিভুজ $ABC$ আঁকা।
  2. $BC$ৰ $B$ প্ৰান্তত $BC$ৰ বিপৰীত ফালে এটা সূক্ষ্মকোণ $\angle CBX$ গঠন কৰা ৰশ্মি $BX$ টানা।
  3. $BX$ ৰশ্মিত $m$সংখ্যক (এই ক্ষেত্ৰত 5) সমান ৰেখাখণ্ড কাটি বিন্দু $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ চিহ্নিত কৰা।
  4. বিন্দু $B_n$ৰ (এই ক্ষেত্ৰত $B_3$) পৰা $C$লৈ ৰেখা টানা।
  5. বিন্দু $B_m$ৰে (এই ক্ষেত্ৰত $B_5$) $B_n C$ৰ সমান্তৰাল এডাল ৰেখা টানি $BC$ ৰেখাটোক বৰ্ধিত কৰি $C’$ বিন্দুত ছেদ কৰা।
  6. $C’$ৰ পৰা $CA$ৰ সমান্তৰাল এডাল ৰেখা টানি $BA$ক বৰ্ধিত কৰি $A’$ বিন্দুত ছেদ কৰা।
  7. ত্ৰিভুজ $A’BC’$ই হৈছে আকাঙ্ক্ষিত ডাঙৰ সদৃশ ত্ৰিভুজ।

যথাৰ্থতা

ত্ৰিভুজ $BB_m C’$ত, $B_n C \parallel B_m C’$। সেয়েহে BPT অনুসৰি $\frac{BC}{BC’} = \frac{BB_n}{BB_m} = \frac{n}{m}$। গতিকে $\frac{BC’}{BC} = \frac{m}{n}$।

আকৌ $A’C’ \parallel AC$। সেয়েহে ত্ৰিভুজ $A’BC’ \sim$ ত্ৰিভুজ $ABC$ আৰু—

$$\frac{A’B}{AB} = \frac{BC’}{BC} = \frac{A’C’}{AC} = \frac{m}{n}$$

অংকন ৪: বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা বৃত্তলৈ স্পৰ্শক অংকন

এটা বৃত্তৰ বহিৰ্ভাগৰ এটা বিন্দু $P$ৰ পৰা সেই বৃত্তলৈ দুডাল স্পৰ্শক টনাটো এই অংকনৰ লক্ষ্য। বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ $O$ জনা থাকিলে এই অংকন অতি সহজ।

O P M Q R

অংকনৰ পদক্ষেপ

  1. $O$ কেন্দ্ৰীয় বৃত্ত আৰু বহিঃস্থ বিন্দু $P$ দিয়া আছে। $O$ আৰু $P$ যোগ কৰি ৰেখাখণ্ড $OP$ টানা।
  2. $OP$ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক টানি $OP$ৰ মধ্যবিন্দু $M$ উলিয়োৱা।
  3. $M$ কেন্দ্ৰ আৰু $MP$ (অৰ্থাৎ $MO$ৰ সমান) ব্যাসাৰ্ধৰে এটা বৃত্ত আঁকা। এই সহায়ক বৃত্তে দিয়া বৃত্তটোক দুটা বিন্দু $Q$ আৰু $R$ত ছেদ কৰে।
  4. $P$ৰ পৰা $Q$ আৰু $R$লৈ ৰেখা টানা। তেতিয়া $PQ$ আৰু $PR$ দুয়োডাল হৈছে দিয়া বৃত্তৰ $P$ বিন্দুৰ পৰা টনা স্পৰ্শক।

যথাৰ্থতা

$OQ$ যোগ কৰা যাওক। $\angle OQP$ অৰ্ধবৃত্তত অন্তৰ্লিখিত কোণ (যিহেতু $OP$ সহায়ক বৃত্তৰ ব্যাস)। সেয়েহে—

$$\angle OQP = 90°$$

অৰ্থাৎ $OQ \perp PQ$। কিন্তু $OQ$ দিয়া বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ আৰু $Q$ বৃত্তৰ ওপৰৰ বিন্দু। সেয়েহে স্পৰ্শক সংজ্ঞা অনুসৰি $PQ$ দিয়া বৃত্তৰ $Q$ বিন্দুত স্পৰ্শক। একেদৰে $PR$ও স্পৰ্শক। (প্ৰমাণিত)

মন্তব্য: বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ জনা নাথাকিলে প্ৰথমে দুডাল ভিন্ন জ্যা টানি প্ৰত্যেকৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক উলিওৱা; সিহঁতৰ ছেদ বিন্দুৱে কেন্দ্ৰ $O$ দিয়ে।

অনুশীলনী 11.1 (Exercise 11.1)

প্ৰশ্ন ১। 7.6 cm দৈৰ্ঘ্যৰ এটা ৰেখাখণ্ড আঁকি ইয়াক 5:8 অনুপাতত বিভাজন কৰা। দুয়োটা অংশ জুখি চোৱা।

উত্তৰঃ

A B 7.6 cm X C A1…A13

  1. $AB = 7.6$ cm এটা ৰেখাখণ্ড আঁকা।
  2. $A$ত $AB$ৰ সৈতে এটা সূক্ষ্মকোণ গঠন কৰা ৰশ্মি $AX$ টানা।
  3. $AX$ত $5+8 = 13$টা সমান ৰেখাখণ্ড কাটি $A_1, A_2, \ldots, A_{13}$ চিহ্নিত কৰা।
  4. $A_{13}$ আৰু $B$ যোগ কৰা।
  5. $A_5$ৰে $A_{13}B$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি $AB$ক $C$ বিন্দুত ছেদ কৰোৱা। তেতিয়া $AC:CB = 5:8$।
  6. মাপি চাই দেখা যায়—$AC \approx 2.92$ cm আৰু $CB \approx 4.68$ cm।

যাচাই: $AC + CB = 2.92 + 4.68 = 7.60$ cm আৰু $\frac{AC}{CB} = \frac{2.92}{4.68} = \frac{5}{8}$। মিল আছে।

প্ৰশ্ন ২। 4 cm, 5 cm আৰু 6 cm বাহুৰ এটা ত্ৰিভুজ আঁকা আৰু তাৰ পাছত ইয়াৰ অনুৰূপ বাহুৰ $\frac{2}{3}$ অংশ বাহুৰ আন এটা ত্ৰিভুজ আঁকা।

উত্তৰঃ

B C A 6 cm 5 cm 4 cm X B1 B2 B3 C’ A’

  1. $BC = 6$ cm এটা ৰেখাখণ্ড আঁকা।
  2. $B$ কেন্দ্ৰ আৰু 5 cm ব্যাসাৰ্ধেৰে এটা চাপ কাটা; $C$ কেন্দ্ৰ আৰু 4 cm ব্যাসাৰ্ধেৰে আন এটা চাপ কাটা। চাপ দুটা $A$ বিন্দুত ছেদ কৰে।
  3. $BA$ আৰু $CA$ যোগ কৰি ত্ৰিভুজ $ABC$ পোৱা।
  4. $BC$ৰ বিপৰীত ফালে $B$ত এটা সূক্ষ্মকোণ গঠন কৰা ৰশ্মি $BX$ টানা।
  5. $BX$ত 3টা সমান অংশ কাটি $B_1, B_2, B_3$ চিহ্নিত কৰা।
  6. $B_3$ আৰু $C$ যোগ কৰা। $B_2$ৰে $B_3 C$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি $BC$ক $C’$ত ছেদ কৰোৱা।
  7. $C’$ৰে $CA$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি $BA$ক $A’$ত ছেদ কৰোৱা।
  8. ত্ৰিভুজ $A’BC’$ই হৈছে আকাঙ্ক্ষিত ত্ৰিভুজ যাৰ বাহুসমূহ $ABC$ৰ অনুৰূপ বাহুৰ $\frac{2}{3}$ অংশ। অৰ্থাৎ $BC’ = 4$ cm, $BA’ \approx 3.33$ cm, $A’C’ \approx 2.67$ cm।

প্ৰশ্ন ৩। 5 cm, 6 cm আৰু 7 cm বাহুৰ এটা ত্ৰিভুজ আঁকা আৰু পাছত ইয়াৰ অনুৰূপ বাহুৰ $\frac{7}{5}$ গুণ বাহুৰ আন এটা ত্ৰিভুজ আঁকা।

উত্তৰঃ

B C A 7 cm 5 cm 6 cm X B1 B2 B3 B4 B5 B7 C’ A’

  1. $BC = 7$ cm আঁকা।
  2. $B$ কেন্দ্ৰ আৰু 5 cm ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ আৰু $C$ কেন্দ্ৰ আৰু 6 cm ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ $A$ বিন্দুত ছেদ কৰোৱা।
  3. ত্ৰিভুজ $ABC$ পূৰ্ণ কৰা।
  4. $BC$ৰ বিপৰীত ফালে $B$ত এটা সূক্ষ্মকোণ ৰশ্মি $BX$ টানা।
  5. $BX$ত 7 টা (7 আৰু 5ৰ ভিতৰৰ ডাঙৰটো) সমান অংশ কাটি $B_1, B_2, \ldots, B_7$ চিহ্নিত কৰা।
  6. $B_5$ক $C$ৰ সৈতে যোগ কৰা।
  7. $B_7$ৰে $B_5 C$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি বৰ্ধিত $BC$ক $C’$ত ছেদ কৰোৱা।
  8. $C’$ৰে $CA$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি বৰ্ধিত $BA$ক $A’$ত ছেদ কৰোৱা।
  9. ত্ৰিভুজ $A’BC’$ই হৈছে আকাঙ্ক্ষিত ত্ৰিভুজ যাৰ বাহু $BC’ = 9.8$ cm, $BA’ = 7$ cm, $A’C’ = 8.4$ cm।

প্ৰশ্ন ৪। আধাৰ 8 cm আৰু উচ্চতা 4 cm এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ আঁকা আৰু পাছত ইয়াৰ অনুৰূপ বাহুৰ $1\frac{1}{2}$ গুণ বাহুৰ আন এটা ত্ৰিভুজ আঁকা।

উত্তৰঃ স্কেল ফেক্টৰ $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$।

  1. $BC = 8$ cm এটা ৰেখাখণ্ড আঁকা।
  2. $BC$ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক টানি মধ্যবিন্দু $M$ উলিওৱা।
  3. $M$ৰ পৰা লম্বৰে 4 cm দূৰত্বত $A$ বিন্দু চিহ্নিত কৰা।
  4. $BA$ আৰু $CA$ যোগ কৰি ত্ৰিভুজ $ABC$ পোৱা (এয়া সমদ্বিবাহু কাৰণ $BA = CA$)।
  5. $BC$ৰ বিপৰীত ফালে $B$ত সূক্ষ্মকোণ ৰশ্মি $BX$ টানা।
  6. $BX$ত 3টা সমান অংশ কাটি $B_1, B_2, B_3$ চিহ্নিত কৰা।
  7. $B_2$ৰ পৰা $C$লৈ ৰেখা টানা।
  8. $B_3$ৰে $B_2 C$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি বৰ্ধিত $BC$ক $C’$ত ছেদ কৰোৱা।
  9. $C’$ৰে $CA$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি বৰ্ধিত $BA$ক $A’$ত ছেদ কৰোৱা।
  10. ত্ৰিভুজ $A’BC’$ই আকাঙ্ক্ষিত ত্ৰিভুজ। ইয়াৰ আধাৰ $BC’ = 12$ cm, উচ্চতা $= 6$ cm।

প্ৰশ্ন ৫। ত্ৰিভুজ $ABC$ত $BC = 6$ cm, $AB = 5$ cm আৰু $\angle ABC = 60°$। ইয়াৰ অনুৰূপ এটা ত্ৰিভুজ আঁকা যাৰ বাহুসমূহ $ABC$ৰ অনুৰূপ বাহুৰ $\frac{3}{4}$ অংশ।

উত্তৰঃ

  1. $BC = 6$ cm এটা ৰেখাখণ্ড আঁকা।
  2. $B$ত $\angle XBC = 60°$ গঠন কৰা ৰশ্মি $BX$ টানা।
  3. $BX$ত $BA = 5$ cm কাটি $A$ পোৱা।
  4. $AC$ যোগ কৰি ত্ৰিভুজ $ABC$ পূৰ্ণ কৰা।
  5. $BC$ৰ বিপৰীত ফালে $B$ত সূক্ষ্মকোণ ৰশ্মি $BY$ টানা।
  6. $BY$ত 4টা সমান অংশ কাটি $B_1, B_2, B_3, B_4$ চিহ্নিত কৰা।
  7. $B_4$ আৰু $C$ যোগ কৰা।
  8. $B_3$ৰে $B_4 C$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি $BC$ক $C’$ত ছেদ কৰোৱা।
  9. $C’$ৰে $CA$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি $BA$ক $A’$ত ছেদ কৰোৱা।
  10. ত্ৰিভুজ $A’BC’ \sim$ ত্ৰিভুজ $ABC$ আৰু বাহুৰ অনুপাত $\frac{3}{4}$। অৰ্থাৎ $BC’ = 4.5$ cm, $BA’ = 3.75$ cm।

প্ৰশ্ন ৬। ত্ৰিভুজ $ABC$ত $BC = 7$ cm, $\angle B = 45°$, $\angle A = 105°$। ইয়াৰ অনুৰূপ এটা ত্ৰিভুজ আঁকা যাৰ বাহুসমূহ $ABC$ৰ অনুৰূপ বাহুৰ $\frac{4}{3}$ গুণ।

উত্তৰঃ ত্ৰিভুজৰ তিনিটা কোণৰ যোগফল $180°$। সেয়েহে $\angle C = 180° – 45° – 105° = 30°$।

  1. $BC = 7$ cm এটা ৰেখাখণ্ড আঁকা।
  2. $B$ত $\angle XBC = 45°$ ৰশ্মি আৰু $C$ত $\angle YCB = 30°$ ৰশ্মি টানা। দুয়ো ৰশ্মি $A$ বিন্দুত মিলিত হয়।
  3. এতিয়া ত্ৰিভুজ $ABC$ পূৰ্ণ।
  4. $BC$ৰ বিপৰীত ফালে $B$ত সূক্ষ্মকোণ ৰশ্মি $BZ$ টানা।
  5. $BZ$ত 4টা সমান অংশ কাটি $B_1, B_2, B_3, B_4$ পোৱা।
  6. $B_3$ আৰু $C$ যোগ কৰা।
  7. $B_4$ৰে $B_3 C$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি বৰ্ধিত $BC$ক $C’$ত ছেদ কৰোৱা।
  8. $C’$ৰে $CA$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি বৰ্ধিত $BA$ক $A’$ত ছেদ কৰোৱা।
  9. ত্ৰিভুজ $A’BC’$ই আকাঙ্ক্ষিত। $BC’ = \frac{4}{3} \times 7 \approx 9.33$ cm।

প্ৰশ্ন ৭। এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ আঁকা য’ত সমকোণৰ ধাৰণ কৰা বাহু দুটাৰ দৈৰ্ঘ্য 4 cm আৰু 3 cm। ইয়াৰ অনুৰূপ এটা ত্ৰিভুজ আঁকা যাৰ বাহুসমূহ দিয়া ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ বাহুৰ $\frac{5}{3}$ গুণ।

উত্তৰঃ

  1. $BC = 4$ cm এটা ৰেখাখণ্ড আঁকা।
  2. $B$ত $BC$ৰ লম্ব ৰশ্মি টানি ইয়াৰ ওপৰত $BA = 3$ cm কাটি $A$ পোৱা।
  3. $AC$ যোগ কৰি সমকোণী ত্ৰিভুজ $ABC$ পূৰ্ণ কৰা য’ত $\angle B = 90°$। (কৰ্ণ $AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ cm)।
  4. $BC$ৰ বিপৰীত ফালে $B$ত সূক্ষ্মকোণ ৰশ্মি $BX$ টানা।
  5. $BX$ত 5টা সমান অংশ কাটি $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ চিহ্নিত কৰা।
  6. $B_3$ আৰু $C$ যোগ কৰা।
  7. $B_5$ৰে $B_3 C$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি বৰ্ধিত $BC$ক $C’$ত ছেদ কৰোৱা।
  8. $C’$ৰে $CA$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি বৰ্ধিত $BA$ক $A’$ত ছেদ কৰোৱা।
  9. ত্ৰিভুজ $A’BC’$ই আকাঙ্ক্ষিত ত্ৰিভুজ। ইয়াৰ বাহু—$BC’ = \frac{5}{3} \times 4 \approx 6.67$ cm, $BA’ = \frac{5}{3} \times 3 = 5$ cm, $A’C’ = \frac{5}{3} \times 5 \approx 8.33$ cm।

অনুশীলনী 11.2 (Exercise 11.2)

এই অনুশীলনীত প্ৰদত্ত প্ৰত্যেক প্ৰশ্নত অংকনৰ যথাৰ্থতাও দিয়ক।

প্ৰশ্ন ১। 6 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত আঁকা। ইয়াৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা 10 cm দূৰৱৰ্তী এটা বিন্দুৰ পৰা বৃত্তলৈ স্পৰ্শক যুটি অংকন কৰা আৰু সিহঁতৰ দৈৰ্ঘ্য জুখি চোৱা।

উত্তৰঃ

O P 10 cm M Q R

  1. $O$ কেন্দ্ৰীয় 6 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত আঁকা।
  2. $O$ৰ পৰা 10 cm দূৰত্বত $P$ বিন্দু লোৱা আৰু $OP$ যোগ কৰা।
  3. $OP$ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ সহায়ত মধ্যবিন্দু $M$ উলিওৱা।
  4. $M$ কেন্দ্ৰ আৰু $MP$ ব্যাসাৰ্ধেৰে এটা সহায়ক বৃত্ত আঁকা যিয়ে দিয়া বৃত্তটোক $Q$ আৰু $R$ত ছেদ কৰে।
  5. $PQ$ আৰু $PR$ যোগ কৰা। এই দুয়োডালেই আকাঙ্ক্ষিত স্পৰ্শক।
  6. মাপি চাই দেখা যায়: $PQ = PR \approx 8$ cm।

গণিতীয় যাচাই: ত্ৰিভুজ $OQP$ত $\angle OQP = 90°$ (কাৰণ স্পৰ্শক ব্যাসাৰ্ধৰ লম্ব)। সেয়েহে পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য অনুসৰি—

$$PQ^2 = OP^2 – OQ^2 = 10^2 – 6^2 = 100 – 36 = 64$$

$$\therefore PQ = 8 \text{ cm}$$

প্ৰশ্ন ২। 4 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত আঁকা। তাৰ পাছত একে কেন্দ্ৰীয় 6 cm ব্যাসাৰ্ধৰ আন এটা বৃত্ত আঁকা। ডাঙৰ বৃত্তৰ এটা বিন্দুৰ পৰা সৰু বৃত্তলৈ স্পৰ্শক অংকন কৰা আৰু ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্য জুখি চোৱা। গণনাৰ দ্বাৰাও যাচাই কৰা।

উত্তৰঃ

O P M Q R

  1. $O$ কেন্দ্ৰীয় 4 cm আৰু 6 cm ব্যাসাৰ্ধৰ দুটা সমকেন্দ্ৰিক বৃত্ত আঁকা।
  2. ডাঙৰ বৃত্তত যিকোনো এটা বিন্দু $P$ লোৱা আৰু $OP$ যোগ কৰা।
  3. $OP$ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকেৰে মধ্যবিন্দু $M$ উলিওৱা।
  4. $M$ কেন্দ্ৰ আৰু $MP$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত আঁকা—এই বৃত্তে সৰু বৃত্তটোক $Q$ আৰু $R$ত ছেদ কৰে।
  5. $PQ$ আৰু $PR$ টানা—এয়াই আকাঙ্ক্ষিত স্পৰ্শক।
  6. মাপি চাই: $PQ = PR \approx 4.47$ cm।

গণনাৰে যাচাই: ত্ৰিভুজ $OQP$ত $OQ = 4$ cm (সৰু বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ), $OP = 6$ cm (ডাঙৰ বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ), আৰু $\angle OQP = 90°$। সেয়েহে—

$$PQ = \sqrt{OP^2 – OQ^2} = \sqrt{36 – 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47 \text{ cm}$$

প্ৰশ্ন ৩। 3 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত আঁকা। ইয়াৰ ব্যাস $AB$ৰ বৰ্ধিতাংশত $P$ আৰু $Q$ দুটা বিন্দু লোৱা যাতে $AP = 7$ cm আৰু $BQ = 7$ cm। $P$ আৰু $Q$ দুয়ো বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শক অংকন কৰা।

উত্তৰঃ

  1. $O$ কেন্দ্ৰীয় 3 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত আঁকা আৰু এটা ব্যাস $AB$ টানা।
  2. $AB$ক দুয়োফালে বৰ্ধিত কৰি $AP = 7$ cm আৰু $BQ = 7$ cm কাটি $P$ আৰু $Q$ চিহ্নিত কৰা।
  3. $OP$ৰ মধ্যবিন্দু $M_1$ উলিওৱা; $M_1$ কেন্দ্ৰ আৰু $M_1 P$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত মূল বৃত্তক $T_1, T_2$ত ছেদ কৰে। $PT_1$ আৰু $PT_2$ই $P$ৰ পৰা স্পৰ্শক।
  4. একেদৰে $OQ$ৰ মধ্যবিন্দু $M_2$ উলিয়াই, $M_2$ কেন্দ্ৰ আৰু $M_2 Q$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তে মূল বৃত্তক $T_3, T_4$ত ছেদ কৰে। $QT_3$ আৰু $QT_4$ই $Q$ৰ পৰা স্পৰ্শক।
  5. স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য: $OP = OA + AP = 3 + 7 = 10$ cm আৰু $OQ = OB + BQ = 3 + 7 = 10$ cm। সেয়েহে $PT = QT = \sqrt{10^2 – 3^2} = \sqrt{91} \approx 9.54$ cm।

প্ৰশ্ন ৪। 5 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এটা বিন্দুৰ পৰা এনেদৰে স্পৰ্শক যুটি অংকন কৰা যাতে সিহঁতৰ মাজৰ কোণ $60°$ হয়।

উত্তৰঃ বিশ্লেষণ: যদি $P$ৰ পৰা টনা স্পৰ্শক যুটিৰ মাজৰ কোণ $60°$, তেনেহ’লে স্পৰ্শ বিন্দু $Q, R$ আৰু কেন্দ্ৰ $O$ মিলি ত্ৰিভুজ $OPQ$ত $\angle QPO = 30°$ আৰু $\angle OQP = 90°$। গতিকে $\angle QOP = 60°$। $\sin 30° = \frac{OQ}{OP}$, অৰ্থাৎ $\frac{1}{2} = \frac{5}{OP}$, সেয়ে $OP = 10$ cm।

  1. $O$ কেন্দ্ৰীয় 5 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত আঁকা।
  2. কেন্দ্ৰৰ পৰা 10 cm দূৰত্বত $P$ চিহ্নিত কৰা।
  3. উপৰিউক্ত পদ্ধতিৰে ($OP$ৰ মধ্যবিন্দু-সহায়ক বৃত্ত পদ্ধতি) $P$ৰ পৰা স্পৰ্শক $PQ$ আৰু $PR$ অংকন কৰা।
  4. $\angle QPR = 60°$ পোৱা যাব।

যথাৰ্থতা: $OQPR$ চতুৰ্ভুজত $\angle OQP = \angle ORP = 90°$ (স্পৰ্শক-ব্যাসাৰ্ধ লম্ব)। সেয়েহে $\angle QOR + \angle QPR = 360° – 90° – 90° = 180°$। দিয়া আছে $\angle QPR = 60°$, সেয়ে $\angle QOR = 120°$—আৰু $\sin(60°) = \frac{OQ}{OP}$ পৰীক্ষাত $OP = 10$ cm মিলে।

প্ৰশ্ন ৫। 8 cm দৈৰ্ঘ্যৰ এটা ৰেখাখণ্ড $AB$ টানা। $A$ কেন্দ্ৰ আৰু 4 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত আৰু $B$ কেন্দ্ৰ আৰু 3 cm ব্যাসাৰ্ধৰ আন এটা বৃত্ত আঁকা। প্ৰত্যেক বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা আনটো বৃত্তলৈ স্পৰ্শক অংকন কৰা।

উত্তৰঃ

  1. $AB = 8$ cm টানা।
  2. $A$ কেন্দ্ৰ আৰু 4 cm ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত আঁকা; $B$ কেন্দ্ৰ আৰু 3 cm ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত আঁকা।
  3. $AB$ৰ মধ্যবিন্দু $M$ উলিয়াই $M$ কেন্দ্ৰ আৰু $MA = MB = 4$ cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত আঁকা।
  4. এই সহায়ক বৃত্তে $A$-বৃত্তক $P, Q$ত আৰু $B$-বৃত্তক $R, S$ত ছেদ কৰে।
  5. $BP, BQ$ টানা—এয়া $B$ৰ পৰা $A$-বৃত্তলৈ স্পৰ্শক। $AR, AS$ টানা—এয়া $A$ৰ পৰা $B$-বৃত্তলৈ স্পৰ্শক।
  6. স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য: $BP = \sqrt{AB^2 – AP^2} = \sqrt{64 – 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6.93$ cm; $AR = \sqrt{AB^2 – BR^2} = \sqrt{64 – 9} = \sqrt{55} \approx 7.42$ cm।

প্ৰশ্ন ৬। $BC = 8$ cm, $\angle B = 90°$ আৰু $AB = 6$ cm থকা এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ $ABC$ত $BD$ হৈছে কৰ্ণ $AC$ৰ ওপৰৰ লম্ব। $B, C, D$ বিন্দুৰে যোৱা বৃত্ত আঁকা আৰু $A$ৰ পৰা সেই বৃত্তলৈ স্পৰ্শক যুটি অংকন কৰা।

উত্তৰঃ

  1. $BC = 8$ cm টানা।
  2. $B$ত $BC$ৰ লম্ব ৰশ্মিত $BA = 6$ cm কাটা; $AC$ যোগ কৰা। তেতিয়া $AC = 10$ cm আৰু ত্ৰিভুজ $ABC$ পূৰ্ণ।
  3. $B$ৰ পৰা $AC$লৈ লম্ব ৰেখা $BD$ টানা।
  4. $BC$ৰ মধ্যবিন্দু $M$ উলিওৱা (যিহেতু $\angle BDC = 90°$, সেয়েহে $BC$ বৃত্তৰ ব্যাস হ’ব আৰু $M$ ই বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ)। $M$ কেন্দ্ৰ আৰু $MB = MC = 4$ cm ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত আঁকা—এই বৃত্তে $D$ বিন্দুও অতিক্ৰম কৰে।
  5. $AM$ যোগ কৰি ইয়াৰ মধ্যবিন্দু $N$ উলিওৱা; $N$ কেন্দ্ৰ আৰু $NA = NM$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত মূল বৃত্তক $B$ আৰু $E$ত ছেদ কৰে।
  6. $AB$ এটা স্পৰ্শক হ’ল (যিহেতু $\angle ABM = 90°$ ইতিমধ্যেই); $AE$ দ্বিতীয় স্পৰ্শক।

মন্তব্য: $AB$ ইতিমধ্যেই $B$ত বৃত্তটোৰ স্পৰ্শক (কাৰণ $AB \perp BC$ আৰু $BC$ ব্যাস)।

প্ৰশ্ন ৭। বঙা ৰঙৰ চাঁইৰ সহায়ত এটা বৃত্ত আঁকা। বৃত্তৰ বাহিৰৰ এটা বিন্দু $P$ লোৱা—কিন্তু কেন্দ্ৰ চিহ্নিত নকৰিবা। এই বিন্দুৰ পৰা বৃত্তলৈ স্পৰ্শক যুটি অংকন কৰা।

উত্তৰঃ ইয়াত প্ৰথমে আমাক বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ উলিয়াব লাগিব।

  1. বৃত্তৰ ভিতৰত যিকোনো দুটা ভিন্ন জ্যা $AB$ আৰু $CD$ টানা।
  2. $AB$ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক টানা আৰু $CD$ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক টানা। দুয়োৰ ছেদ বিন্দুটোৱে বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ $O$।
  3. $O$ আৰু $P$ যোগ কৰি ৰেখাখণ্ড $OP$ পোৱা।
  4. $OP$ৰ মধ্যবিন্দু $M$ উলিওৱা।
  5. $M$ কেন্দ্ৰ আৰু $MP$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত আঁকা যিয়ে দিয়া বৃত্তক $Q, R$ত ছেদ কৰে।
  6. $PQ$ আৰু $PR$ই হৈছে আকাঙ্ক্ষিত স্পৰ্শক।

যথাৰ্থতা: জ্যাৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক সদায় বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰে যায়—এই ধৰ্মৰ পৰা কেন্দ্ৰ পোৱা গ’ল। তাৰ পাছৰ পদক্ষেপ অংকন ৪ৰ যথাৰ্থতাৰ অনুৰূপ।

অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ (Extra Questions)

বহু-বিকল্প প্ৰশ্ন (MCQ)

১। $AB$ ৰেখাখণ্ডক $2:5$ অনুপাতত বিভাজন কৰিবলৈ, ৰশ্মি $AX$ত মুঠ কিমান সমান অংশ কাটিব লাগে?

  • (a) 2
  • (b) 5
  • (c) 7
  • (d) 10

উত্তৰঃ (c) 7। কাৰণ $m + n = 2 + 5 = 7$।

২। ত্ৰিভুজৰ স্কেল ফেক্টৰ $\frac{3}{5}$ৰ অৰ্থ হ’ল—

  • (a) নতুন ত্ৰিভুজ ডাঙৰ হ’ব
  • (b) নতুন ত্ৰিভুজ মূল ত্ৰিভুজৰ সৈতে সদৃশ আৰু সৰু হ’ব
  • (c) ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বসম হ’ব
  • (d) উপৰিউক্ত একোৱেই নহয়

উত্তৰঃ (b)। $\frac{3}{5} < 1$, সেয়ে নতুন ত্ৰিভুজ সৰু সদৃশ ত্ৰিভুজ।

৩। কেন্দ্ৰ $O$ৰ পৰা 13 cm দূৰৱৰ্তী এটা বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা 5 cm ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তলৈ স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য হ’ল—

  • (a) 8 cm
  • (b) 12 cm
  • (c) 18 cm
  • (d) 14 cm

উত্তৰঃ (b) 12 cm। $\sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12$।

৪। বহিঃস্থ এটা বিন্দুৰ পৰা বৃত্তলৈ মুঠ কিমান স্পৰ্শক টনা যাব?

  • (a) এটা
  • (b) দুটা
  • (c) তিনিটা
  • (d) অসংখ্য

উত্তৰঃ (b) দুটা।

৫। প্ৰদত্ত ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ এটা ত্ৰিভুজ আঁকিব লাগে যাৰ বাহুসমূহ মূল ত্ৰিভুজৰ $\frac{4}{3}$ গুণ। এই অংকনত স্কেল ফেক্টৰ হ’ল—

  • (a) $\frac{3}{4}$
  • (b) $\frac{4}{3}$
  • (c) $\frac{1}{4}$
  • (d) 4

উত্তৰঃ (b) $\frac{4}{3}$।

৬। বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $5$ cm আৰু কেন্দ্ৰৰ পৰা এটা বহিঃস্থ বিন্দুৰ দূৰত্ব $13$ cm। স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য—

  • (a) 8 cm
  • (b) 10 cm
  • (c) 12 cm
  • (d) 18 cm

উত্তৰঃ (c) 12 cm।

ৰিক্ত স্থান পূৰণ (Fill in the Blanks)

  1. ৰেখাখণ্ডৰ অনুপাত বিভাজনত আমি ____________ উপপাদ্য (BPT) ব্যৱহাৰ কৰোঁ। উত্তৰঃ মৌলিক অনুপাত (Basic Proportionality)।
  2. সদৃশ ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ বাহুৰ অনুপাতক ____________ বুলি কোৱা হয়। উত্তৰঃ স্কেল ফেক্টৰ।
  3. স্পৰ্শক স্পৰ্শ বিন্দুৰ ব্যাসাৰ্ধৰ ওপৰত ____________ হয়। উত্তৰঃ লম্ব।
  4. বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা টনা দুডাল স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য পৰস্পৰ ____________। উত্তৰঃ সমান।
  5. বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $r$, কেন্দ্ৰৰ পৰা বহিঃস্থ বিন্দুৰ দূৰত্ব $d$; স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য = ____________। উত্তৰঃ $\sqrt{d^2 – r^2}$।
  6. বৃত্তৰ ভিতৰৰ এটা বিন্দুৰ পৰা ____________ স্পৰ্শক টনা যায়। উত্তৰঃ এটাও নাই।

সঁচা/মিছা (True/False)

  1. বৃত্তৰ এটা জ্যাৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক সদায় বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰে যায়। উত্তৰঃ সঁচা।
  2. স্কেল ফেক্টৰ $\frac{m}{n}$ত যদি $m = n$, তেন্তে নতুন ত্ৰিভুজ মূল ত্ৰিভুজৰ সৈতে সৰ্বসম। উত্তৰঃ সঁচা।
  3. ৰেখাখণ্ড বিভাজন কৰিবলৈ আমাক চাঁইৰ মাপ লাগে। উত্তৰঃ মিছা। কেৱল সমান অংশ কাটি অনুপাত স্থাপন কৰিলেই হয়, প্ৰকৃত মাপ নালাগে।
  4. বৃত্তৰ ভিতৰৰ এটা বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শক টনা যায়। উত্তৰঃ মিছা।
  5. বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা টনা স্পৰ্শক যুটিৰ মাজৰ কোণ আৰু কেন্দ্ৰৰ অংশ-কোণৰ যোগফল $180°$। উত্তৰঃ সঁচা।

চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন (Short Answer)

প্ৰশ্ন ১। ৰেখাখণ্ড বিভাজনৰ অংকনত ৰশ্মি $AX$ত সূক্ষ্মকোণ কিয় বনাব লাগে—সমকোণ বা স্থূলকোণ কিয় নহয়?

উত্তৰঃ সূক্ষ্মকোণ হ’লে অংকনৰ বিভিন্ন বিন্দু এটা সৰু অঞ্চলত পৰিৱেশ্য আকৃতিত পৰে আৰু সমান্তৰাল ৰেখা সঠিকভাৱে আঁকিব পাৰি। স্থূলকোণ হ’লে চিত্ৰ অসঁজ হৈ পৰে। তত্ত্বগতভাৱে যিকোনো কোণতেই অংকন সফল হ’ব—কিন্তু সূক্ষ্মকোণে সুন্দৰ চিত্ৰ দিয়ে।

প্ৰশ্ন ২। স্পৰ্শক অংকনত কিয় $OP$ৰ মধ্যবিন্দু $M$ কেন্দ্ৰ লোৱা হয়?

উত্তৰঃ কাৰণ আমাক $\angle OQP = 90°$ পাব লাগে। সেইটো হ’বলৈ $Q$ এটা বৃত্তৰ ওপৰৰ বিন্দু হ’ব লাগে যাৰ ব্যাস $OP$—কাৰণ ব্যাসত নিৰ্মিত অন্তৰ্লিখিত কোণ $90°$ (Theorem 9.7 of Class 9)। সেই বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ $OP$ৰ মধ্যবিন্দু।

প্ৰশ্ন ৩। 6 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা 5 cm দূৰৱৰ্তী এটা বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শক টানিব পাৰি জানো? কাৰণ ব্যাখ্যা কৰা।

উত্তৰঃ নাই। $5 < 6$, সেয়ে বিন্দুটো বৃত্তৰ ভিতৰত। বৃত্তৰ ভিতৰৰ কোনো বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শক টানিব নোৱাৰি, কাৰণ স্পৰ্শকে বৃত্তক ঠিক এটা বিন্দুতহে স্পৰ্শ কৰিব লাগে—অথচ ভিতৰৰ বিন্দুৰ পৰা যিকোনো ৰেখাই বৃত্তক দুটা বিন্দুত ছেদ কৰে (অৰ্থাৎ ই হয় ছেদক)।

প্ৰশ্ন ৪। সদৃশ ত্ৰিভুজ অংকনত স্কেল ফেক্টৰ $\frac{m}{n}$ 1ৰ সমান হ’লে কি হ’ব?

উত্তৰঃ $m = n$ হ’লে স্কেল ফেক্টৰ $1$—অৰ্থাৎ নতুন ত্ৰিভুজৰ বাহু মূল ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ বাহুৰ সমান। এনে ক্ষেত্ৰত নতুন ত্ৰিভুজ মূল ত্ৰিভুজৰ সৰ্বসম হ’ব—সেয়েহে অংকনৰ প্ৰয়োজন নাই, একেটাই ত্ৰিভুজ।

দীঘল উত্তৰৰ প্ৰশ্ন (Long Answer)

প্ৰশ্ন ১। 5 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এটা ব্যাস $AB$ টানা। ব্যাসৰ দুয়ো প্ৰান্তত স্পৰ্শক টানা আৰু দেখুৱা যে এই দুডাল স্পৰ্শক সমান্তৰাল।

উত্তৰঃ

  1. $O$ কেন্দ্ৰীয় 5 cm ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত আঁকা।
  2. এটা ব্যাস $AB$ টানা; সেইটোৰ দৈৰ্ঘ্য 10 cm।
  3. $A$ত $AB$ৰ ওপৰত লম্ব ৰেখা $\ell_1$ টানা—এই ৰেখা $A$ত স্পৰ্শক।
  4. $B$ত $AB$ৰ ওপৰত লম্ব ৰেখা $\ell_2$ টানা—এই ৰেখা $B$ত স্পৰ্শক।
  5. প্ৰমাণ: $\ell_1 \perp AB$ আৰু $\ell_2 \perp AB$। সেয়েহে $\ell_1 \parallel \ell_2$ (একে ৰেখাৰ লম্ব দুডাল ৰেখা সমান্তৰাল)।

প্ৰশ্ন ২। 6 cm ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তত বহিঃস্থ এটা বিন্দু $P$ কেন্দ্ৰৰ পৰা 12 cm দূৰৱৰ্তী। স্পৰ্শক যুটিৰ মাজৰ কোণ উলিওৱা।

উত্তৰঃ ত্ৰিভুজ $OPQ$ত $\sin(\angle OPQ) = \frac{OQ}{OP} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$। সেয়ে $\angle OPQ = 30°$। সমদ্বিৰূপতাৰ পৰা $\angle OPR = 30°$ ও। সেয়েহে $\angle QPR = 60°$।

প্ৰশ্ন ৩। ৰেখাখণ্ড $AB$ক $3:4$ অনুপাতত বিভাজন কৰাৰ পদক্ষেপ আঁকনিৰ দ্বাৰা দেখুৱা আৰু যথাৰ্থতা প্ৰমাণ কৰা।

উত্তৰঃ ওপৰৰ “অংকন ১”ৰ পদক্ষেপ অনুসৰি, $m=3, n=4, m+n=7$। $AX$ত 7টা সমান অংশ কাটি $A_1, \ldots, A_7$ পাওঁ; $A_7 B$ যোগ কৰোঁ আৰু $A_3$ৰ পৰা সমান্তৰাল ৰেখা টানি $AB$ৰ ওপৰত $C$ পাওঁ। ত্ৰিভুজ $ABA_7$ত $A_3 C \parallel A_7 B$; BPTৰ পৰা—

$$\frac{AC}{CB} = \frac{AA_3}{A_3 A_7} = \frac{3}{4}$$

সেয়েহে $AC:CB = 3:4$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন ৪। 4 cm আৰু 3 cm ব্যাসাৰ্ধৰ দুটা বৃত্ত একে কেন্দ্ৰত নাই—সিহঁতৰ কেন্দ্ৰ $O_1, O_2$ৰ মাজৰ দূৰত্ব 8 cm। দুয়োটা বৃত্তৰ পৰস্পৰ স্পৰ্শক ৰেখাৰ অংকনৰ সাৰাংশ লিখা।

উত্তৰঃ এই ক্ষেত্ৰত দুয়োটা বৃত্ত পৰস্পৰৰ বাহিৰত ($O_1 O_2 = 8 > 4 + 3 = 7$)। সেয়ে চাৰিডাল উভয়সাধাৰণ স্পৰ্শক আছে—দুডাল প্ৰত্যক্ষ (direct) আৰু দুডাল পৰোক্ষ (transverse)। প্ৰত্যক্ষ স্পৰ্শকৰ বাবে $O_1 O_2$ক $(r_1 – r_2)$ অনুপাতত বহিঃস্থভাৱে বিভাজন কৰি বিন্দু $P_1$ পোৱা; $P_1$ৰ পৰা যিকোনো এটা বৃত্তলৈ স্পৰ্শক টানিলে দ্বিতীয় বৃত্তকো স্পৰ্শ কৰে। পৰোক্ষৰ বাবে অন্তৰ্স্থ বিভাজন। (এই অংকন ASSEB পাঠ্যপুথিৰ অতিৰিক্ত উদাহৰণ।)

গুৰুত্বপূৰ্ণ সূত্ৰ আৰু ধাৰণা (Important Formulas)

বিষয়সূত্ৰ / সম্বন্ধ
স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য (বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা)$\ell = \sqrt{d^2 – r^2}$, য’ত $d=$ দূৰত্ব, $r=$ ব্যাসাৰ্ধ।
স্পৰ্শক যুটিৰ মাজৰ কোণ$\angle QPR + \angle QOR = 180°$ (চতুৰ্ভুজ $OQPR$ত)।
BPT সম্বন্ধ$\frac{AC}{CB} = \frac{AA_m}{A_m A_{m+n}} = \frac{m}{n}$।
সদৃশ ত্ৰিভুজৰ বাহু অনুপাত$\frac{A’B}{AB} = \frac{BC’}{BC} = \frac{A’C’}{AC} = \frac{m}{n}$।
স্পৰ্শক-ব্যাসাৰ্ধ লম্বতাস্পৰ্শক $\perp$ ব্যাসাৰ্ধ (স্পৰ্শ বিন্দুত)।
সমান-জ্যা সমদূৰৱৰ্তীবৃত্তৰ কেন্দ্ৰ যিকোনো জ্যাৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকত থাকে।

শব্দাৰ্থ (Glossary)

English Termঅসমীয়া অৰ্থ
Constructionঅংকন / জ্যামিতিক গঠন
Line segmentৰেখাখণ্ড
Rayৰশ্মি
Acute angleসূক্ষ্মকোণ
Arcচাপ
Parallel linesসমান্তৰাল ৰেখা
Similar trianglesসদৃশ ত্ৰিভুজ
Scale factorস্কেল ফেক্টৰ
Tangentস্পৰ্শক
Point of contactস্পৰ্শ বিন্দু
External pointবহিঃস্থ বিন্দু
Perpendicular bisectorলম্ব সমদ্বিখণ্ডক
Mid-pointমধ্যবিন্দু
Chordজ্যা
Diameterব্যাস
Radiusব্যাসাৰ্ধ
Centreকেন্দ্ৰ
Concentric circlesসমকেন্দ্ৰিক বৃত্ত
Hypotenuseকৰ্ণ
Right-angled triangleসমকোণী ত্ৰিভুজ
Isosceles triangleসমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ
Inscribed angleঅন্তৰ্লিখিত কোণ
Justificationযথাৰ্থতা
Basic Proportionality Theorem (BPT)মৌলিক অনুপাত উপপাদ্য
Pythagoras Theoremপাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য
Auxiliary circleসহায়ক বৃত্ত
Compassকম্পাছ
Ruler / Scaleস্কেল
Bisectসমদ্বিখণ্ডন কৰা

উপসংহাৰ (Conclusion)

একাদশ অধ্যায় অংকনত আমি স্কেল আৰু কম্পাছৰ সহায়ত তিনিটা মূল গঠন—ৰেখাখণ্ডৰ অনুপাত বিভাজন, সদৃশ ত্ৰিভুজ অংকন (স্কেল $< 1$ আৰু $> 1$ দুয়োটা), আৰু বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শক অংকন—শিকিলোঁ। প্ৰত্যেক অংকনৰ মূল ভিত্তি হ’ল অধ্যায় ৬ৰ মৌলিক অনুপাত উপপাদ্য (BPT), অধ্যায় ১০ৰ স্পৰ্শক-ব্যাসাৰ্ধ লম্বতা, আৰু নৱম শ্ৰেণীৰ অৰ্ধবৃত্তৰ অন্তৰ্লিখিত কোণ $90°$ উপপাদ্য। অংকনৰ সময়ত প্ৰতিটো চাপ চিত্ৰত স্পষ্টকৈ ৰাখিব লাগে আৰু পদক্ষেপ ক্ৰমাংকিতভাৱে লিখিব লাগে। লগতে যথাৰ্থতা সদায় দিব লাগে—কাৰণ পৰীক্ষাত যথাৰ্থতাৰ বাবে নম্বৰ ধাৰ্য কৰা থাকে।

HSLC GURU-ত আমি ASSEB দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ সকলো অধ্যায়ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান প্ৰকাশ কৰোঁ। আশা কৰোঁ এই পাঠটোৱে আপোনাৰ HSLC গণিত পৰীক্ষাত সহায় কৰিব। অধ্যায়ৰ অংকনবোৰ অনুশীলন কৰি কৰি দক্ষ হ’ব।

Leave a Comment

© 2026. All Rights Reserved.