নমস্কাৰ প্ৰিয় ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকল! HSLC GURU-লৈ স্বাগতম। এই পাঠত আমি ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ) ৰ দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ দশম অধ্যায় — বৃত্ত (Circles) ৰ সম্পূৰ্ণ আলোচনা কৰিম। এই অধ্যায়ত আমি বৃত্তৰ স্পৰ্শক (tangent), উপপাদ্য 10.1 আৰু 10.2, বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা অংকন কৰা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু অনুশীলনী 10.1 আৰু 10.2 ৰ সকলো প্ৰশ্নৰ উত্তৰ চোৱা হ’ব। বোৰ্ড পৰীক্ষাত এই অধ্যায়ৰ পৰা প্ৰায় 6-8 নম্বৰৰ প্ৰশ্ন আহে — গতিকে মন দি অধ্যয়ন কৰক।
সাৰাংশ (Summary)
নৱম শ্ৰেণীত আমি বৃত্ত, জ্যা (chord), চাপ (arc), পৰিধি (circumference) আদিৰ বিষয়ে শিকিছোঁ। দশম শ্ৰেণীৰ এই অধ্যায়ত আমি মূলতঃ স্পৰ্শক (tangent) ৰ ধাৰণা, ইয়াৰ ধৰ্ম আৰু সম্পৰ্কীয় উপপাদ্যসমূহ অধ্যয়ন কৰিম। মূল দুটা উপপাদ্য হৈছে — উপপাদ্য 10.1 (স্পৰ্শক ব্যাসাৰ্ধৰ ওপৰত লম্ব) আৰু উপপাদ্য 10.2 (বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা অংকন কৰা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য সমান)।
Summary: This Class 10 chapter on Circles introduces the concept of a tangent — a line touching the circle at exactly one point. Two key theorems are proved: Theorem 10.1 (the tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact) and Theorem 10.2 (the lengths of tangents drawn from an external point to a circle are equal). Both theorems are used extensively to solve problems on tangent lengths, circumscribed quadrilaterals and concentric-circle chords in Exercises 10.1 and 10.2 of the ASSEB Class 10 mathematics textbook.
| পদ | সংজ্ঞা |
|---|---|
| বৃত্ত (Circle) | সমতলত এটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দুৰ পৰা সমান দূৰত্বত থকা সকলো বিন্দুৰ সমষ্টি। |
| কেন্দ্ৰ (Centre) | বৃত্তৰ ভিতৰৰ নিৰ্দিষ্ট বিন্দু (সাধাৰণতে $O$ ৰে চিহ্নিত)। |
| ব্যাসাৰ্ধ (Radius) | কেন্দ্ৰৰ পৰা পৰিধিলৈ দূৰত্ব $r$। |
| ব্যাস (Diameter) | কেন্দ্ৰৰে যোৱা জ্যা; দৈৰ্ঘ্য $d=2r$। |
| জ্যা (Chord) | বৃত্তৰ দুটা বিন্দু সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ড। |
| ছেদক (Secant) | বৃত্তক দুটা বিন্দুত ছেদ কৰা ৰেখা। |
| স্পৰ্শক (Tangent) | বৃত্তক ঠিক এটা বিন্দুতে ছুই যোৱা ৰেখা। |
| স্পৰ্শ বিন্দু (Point of contact) | স্পৰ্শকে বৃত্তক ছুই যোৱা বিন্দু। |
বৃত্তৰ স্পৰ্শক (Tangent to a Circle)
“Tangent” শব্দৰ উৎপত্তি লেটিন শব্দ tangere-ৰ পৰা, যাৰ অৰ্থ “ছুই যোৱা”। এটা স্পৰ্শক হৈছে এনে এডাল ৰেখা যিয়ে বৃত্তক ঠিক এটা বিন্দুতে ছেদ কৰে।
এটা ৰেখা আৰু এটা বৃত্তৰ মাজৰ সম্পৰ্ক তিনি প্ৰকাৰৰ হ’ব পাৰে — (i) ৰেখাই বৃত্তক ছেদ নকৰে, (ii) ৰেখাই বৃত্তক এটা বিন্দুতে ছোৱে (স্পৰ্শক), (iii) ৰেখাই বৃত্তক দুটা বিন্দুত ছেদ কৰে (ছেদক)।
স্পৰ্শকৰ সংখ্যা
| বিন্দুৰ অৱস্থান | স্পৰ্শকৰ সংখ্যা |
|---|---|
| বৃত্তৰ ভিতৰত | 0 (কোনো স্পৰ্শক নাই) |
| বৃত্তৰ ওপৰত | 1 (ঠিক এটা স্পৰ্শক) |
| বৃত্তৰ বাহিৰত | 2 (ঠিক দুটা স্পৰ্শক) |
উপপাদ্য 10.1
বিবৃতিঃ বৃত্তৰ যিকোনো বিন্দুত অংকন কৰা স্পৰ্শকটো স্পৰ্শ বিন্দুৰে যোৱা ব্যাসাৰ্ধৰ ওপৰত লম্ব হয়। (The tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact.)
প্ৰদত্তঃ O কেন্দ্ৰ বিশিষ্ট এটা বৃত্ত, P স্পৰ্শ বিন্দু আৰু XY হৈছে P বিন্দুত অংকন কৰা স্পৰ্শক।
প্ৰমাণ্যঃ $OP \perp XY$।
প্ৰমাণঃ ধৰাহ’ল OP, XY ৰ ওপৰত লম্ব নহয়। তেনেহ’লে XY ৰ ওপৰত এনে এটা বিন্দু Q ল’বপাৰি যাৰবাবে $OQ \perp XY$ হ’ব। যিহেতু লম্বই ক্ষুদ্ৰতম দূৰত্ব দিয়ে, গতিকে $OQ < OP$। কিন্তু XY এডাল স্পৰ্শক হোৱাবাবে P বাদে আন সকলো বিন্দু বৃত্তৰ বাহিৰত আছে, গতিকে $OQ > OP$ — ই বিৰোধ। গতিকে আমাৰ অনুমান ভুল আছিল, অৰ্থাৎ $OP \perp XY$। (প্ৰমাণিত)
সিদ্ধান্ত (Corollary): স্পৰ্শ বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শকৰ ওপৰত অংকিত লম্বই বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰে যায়।
উপপাদ্য 10.2
বিবৃতিঃ বহিঃস্থ এটা বিন্দুৰ পৰা বৃত্তলৈ অংকন কৰা স্পৰ্শক যুগ্মৰ দৈৰ্ঘ্য সমান। (The lengths of tangents drawn from an external point to a circle are equal.)
প্ৰদত্তঃ O কেন্দ্ৰ বিশিষ্ট এটা বৃত্ত, P বহিঃস্থ বিন্দু, PQ আৰু PR দুডাল স্পৰ্শক যাৰ স্পৰ্শ বিন্দু যথাক্ৰমে Q আৰু R।
প্ৰমাণ্যঃ $PQ = PR$।
অংকনঃ OQ, OR আৰু OP যোগ কৰা হ’ল।
প্ৰমাণঃ △OQP আৰু △ORP ত —
(i) $\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ$ (উপপাদ্য 10.1 অনুসৰি স্পৰ্শক ব্যাসাৰ্ধৰ ওপৰত লম্ব)
(ii) $OQ = OR$ (একে বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ)
(iii) $OP = OP$ (সাধাৰণ বাহু)
গতিকে RHS সৰ্বসমতা সূত্ৰ অনুসৰি $\triangle OQP \cong \triangle ORP$।
$\therefore PQ = PR$ (CPCT — সৰ্বসম ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ অংশ)। (প্ৰমাণিত)
মন্তব্যঃ উক্ত প্ৰমাণৰ পৰা পোৱা যায় যে $\angle OPQ = \angle OPR$, অৰ্থাৎ OP-এ ∠QPR-ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। লগতে $\angle QOP = \angle ROP$।
অনুশীলনী 10.1
প্ৰশ্ন 1। এটা বৃত্তৰ কিমান স্পৰ্শক থাকিব পাৰে?
উত্তৰঃ এটা বৃত্তৰ পৰিধিৰ ওপৰত অসংখ্য বিন্দু থাকে আৰু প্ৰতিটো বিন্দুতে এডাল কৈ স্পৰ্শক অংকন কৰিব পাৰি। গতিকে এটা বৃত্তৰ অসংখ্য (infinitely many) স্পৰ্শক থাকিব পাৰে।
প্ৰশ্ন 2। খালী ঠাই পূৰণ কৰাঃ
(i) এটা বৃত্তৰ স্পৰ্শকে বৃত্তটোক এটা বিন্দুত ছেদ কৰে।
(ii) বৃত্তটোক দুটা বিন্দুত ছেদ কৰা ৰেখাটোক ছেদক (secant) বোলে।
(iii) এটা বৃত্তৰ সৰ্বাধিক দুডাল সমান্তৰাল স্পৰ্শক থাকিব পাৰে।
(iv) স্পৰ্শক আৰু বৃত্তৰ উমৈহতীয়া বিন্দুটোক স্পৰ্শ বিন্দু (point of contact) বোলে।
প্ৰশ্ন 3। 5 ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ O ৰ পৰা 12 ছে.মি. দূৰত্বৰ এটা বিন্দু Q ত PQ স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান?
উত্তৰঃ P স্পৰ্শ বিন্দু হোৱা বাবে $OP \perp PQ$, গতিকে $\triangle OPQ$ এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ য’ত $\angle P = 90^\circ$।
$$PQ^2 = OQ^2 – OP^2 = 12^2 – 5^2 = 144 – 25 = 119$$
$$\therefore PQ = \sqrt{119} \text{ ছে.মি.}$$
সঠিক উত্তৰঃ (d) $\sqrt{119}$ ছে.মি.
প্ৰশ্ন 4। এনে এটা বৃত্ত আঁকা যাৰ এডাল স্পৰ্শক আৰু এডাল ছেদক প্ৰদত্ত ৰেখাৰ সমান্তৰাল হয়।
উত্তৰঃ পদক্ষেপসমূহ —
(i) প্ৰদত্ত ৰেখা $l$ আঁকা।
(ii) এটা বৃত্ত (কেন্দ্ৰ O, ব্যাসাৰ্ধ $r$) এনেদৰে আঁকা যে $l$ ৰ পৰা ইয়াৰ লম্ব দূৰত্ব $r$ ৰ সমান হয় — তেতিয়া $l$ ই বৃত্তটোৰ স্পৰ্শক হ’ব।
(iii) $l$ ৰ সমান্তৰালকৈ আন এডাল ৰেখা $m$ আঁকা যিয়ে বৃত্তটোক দুটা বিন্দুত ছেদ কৰে — সেইডালেই বিচৰা ছেদক।
অনুশীলনী 10.2
প্ৰশ্ন 1। এটা বিন্দু Q ৰ পৰা বৃত্তলৈ অংকিত স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য 24 ছে.মি. আৰু Q ৰ পৰা কেন্দ্ৰৰ দূৰত্ব 25 ছে.মি.। বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ কিমান?
উত্তৰঃ মান লওঁক কেন্দ্ৰ O, স্পৰ্শ বিন্দু P। তেতিয়া $OP \perp PQ$, গতিকে $\triangle OPQ$ ত $\angle P = 90^\circ$।
$$OP^2 = OQ^2 – PQ^2 = 25^2 – 24^2 = 625 – 576 = 49$$
$$\therefore OP = 7 \text{ ছে.মি.}$$
সঠিক উত্তৰঃ (a) 7 ছে.মি.
প্ৰশ্ন 2। চিত্ৰত TP আৰু TQ এটা O কেন্দ্ৰিক বৃত্তৰ দুডাল স্পৰ্শক, যাতে $\angle POQ = 110^\circ$ হয়। তেন্তে $\angle PTQ$-ৰ মান কি হ’ব?
উত্তৰঃ উপপাদ্য 10.1 অনুসৰি $\angle OPT = \angle OQT = 90^\circ$।
চতুৰ্ভুজ OPTQ ৰ সকলো কোণৰ যোগফল $360^\circ$ —
$$\angle OPT + \angle PTQ + \angle TQO + \angle QOP = 360^\circ$$
$$90^\circ + \angle PTQ + 90^\circ + 110^\circ = 360^\circ$$
$$\angle PTQ = 360^\circ – 290^\circ = 70^\circ$$
সঠিক উত্তৰঃ (b) $70^\circ$।
প্ৰশ্ন 3। যদি কোনো বহিঃস্থ বিন্দু P ৰ পৰা এটা O কেন্দ্ৰিক বৃত্তলৈ অংকিত স্পৰ্শক যুগ্ম PA আৰু PB-এ পৰস্পৰে $80^\circ$ কোণত হেলনীয়া হয়, তেন্তে $\angle POA$ ৰ মান কি হ’ব?
উত্তৰঃ উপপাদ্য 10.2 ৰ মন্তব্য অনুসৰি OP-এ $\angle APB$ ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে, গতিকে $\angle OPA = 40^\circ$। আৰু $\angle OAP = 90^\circ$।
$$\angle POA = 180^\circ – 90^\circ – 40^\circ = 50^\circ$$
সঠিক উত্তৰঃ (a) $50^\circ$।
প্ৰশ্ন 4। প্ৰমাণ কৰা যে এটা বৃত্তৰ ব্যাসৰ অন্ত-বিন্দু দুটাত অংকন কৰা স্পৰ্শক দুডাল সমান্তৰাল।
উত্তৰঃ মান লওঁক AB এটা ব্যাস। A ত স্পৰ্শক $l$ আৰু B ত স্পৰ্শক $m$ আঁকা।
উপপাদ্য 10.1 অনুসৰি $OA \perp l$ আৰু $OB \perp m$। অৰ্থাৎ $AB \perp l$ আৰু $AB \perp m$।
যিহেতু একেডাল ৰেখা AB ৰ ওপৰত $l$ আৰু $m$ দুয়োডালেই লম্ব, গতিকে $l \parallel m$। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন 5। প্ৰমাণ কৰা যে স্পৰ্শ বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শকৰ ওপৰত অংকিত লম্বটো বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰে যায়।
উত্তৰঃ মান লওঁক স্পৰ্শক $XY$, স্পৰ্শ বিন্দু P আৰু কেন্দ্ৰ O। ধৰক P ৰ পৰা $XY$ ৰ ওপৰত অংকিত লম্ব O ৰে নাযায়, বৰঞ্চ আন এটা বিন্দু O’ ৰে যায়। তেতিয়া $O’P \perp XY$।
কিন্তু উপপাদ্য 10.1 অনুসৰি কেন্দ্ৰ O ৰ পৰাও $OP \perp XY$। অৰ্থাৎ P বিন্দুৰে যোৱা XY ৰ ওপৰত দুটা ভিন্ন লম্ব আছে — যিটো অসম্ভৱ। গতিকে O আৰু O’ একেই বিন্দু, অৰ্থাৎ লম্বটো কেন্দ্ৰৰে যায়। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন 6। এটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা 5 ছে.মি. দূৰত্বৰ A বিন্দুৰ পৰা অংকিত স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য 4 ছে.মি. হ’লে বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ উলিওৱা।
উত্তৰঃ মান লওঁক কেন্দ্ৰ O আৰু স্পৰ্শ বিন্দু P। তেতিয়া $OP \perp AP$।
$$OP^2 = OA^2 – AP^2 = 5^2 – 4^2 = 25 – 16 = 9$$
$$\therefore OP = 3 \text{ ছে.মি.}$$
বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ 3 ছে.মি.।
প্ৰশ্ন 7। দুটা সকেন্দ্ৰিক বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ যথাক্ৰমে 5 ছে.মি. আৰু 3 ছে.মি.। ডাঙৰ বৃত্তৰ এনে এটা জ্যাৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা যিয়ে সৰু বৃত্তটোক স্পৰ্শ কৰে।
উত্তৰঃ মান লওঁক AB ডাঙৰ বৃত্তৰ জ্যা যিয়ে সৰু বৃত্তটোক P বিন্দুত স্পৰ্শ কৰে। তেতিয়া $OP \perp AB$ আৰু লম্বই জ্যাক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে, গতিকে $AP = PB$।
$\triangle OPA$ ত $\angle P = 90^\circ$, $OA = 5$, $OP = 3$।
$$AP^2 = OA^2 – OP^2 = 25 – 9 = 16 \Rightarrow AP = 4 \text{ ছে.মি.}$$
$$AB = 2 \times AP = 2 \times 4 = 8 \text{ ছে.মি.}$$
$\therefore$ জ্যাৰ দৈৰ্ঘ্য 8 ছে.মি.।
প্ৰশ্ন 8। কোনো এটা বৃত্তৰ বহিঃ-পৰিলিখিত (circumscribed) এটা চতুৰ্ভুজ ABCD ৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰমাণ কৰা যে $AB + CD = AD + BC$।
উত্তৰঃ ধৰক বৃত্তটোৱে AB, BC, CD, DA-ক যথাক্ৰমে P, Q, R, S বিন্দুত স্পৰ্শ কৰে। উপপাদ্য 10.2 অনুসৰি বহিঃস্থ এটা বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য সমান, গতিকে —
$$AP = AS, \quad BP = BQ, \quad CR = CQ, \quad DR = DS$$
এই সমীকৰণকেইটা যোগ কৰিলে —
$$AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS$$
$$(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)$$
$$AB + CD = AD + BC$$
(প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন 9। চিত্ৰত XY আৰু X’Y’ হৈছে O কেন্দ্ৰিক বৃত্তৰ দুডাল সমান্তৰাল স্পৰ্শক, AB হৈছে স্পৰ্শ বিন্দু C ত আন এডাল স্পৰ্শক যাৰ XY ৰ লগত ছেদ A ত আৰু X’Y’ ৰ লগত ছেদ B ত। প্ৰমাণ কৰা যে $\angle AOB = 90^\circ$।
উত্তৰঃ ধৰক XY ৰ স্পৰ্শ বিন্দু P আৰু X’Y’ ৰ স্পৰ্শ বিন্দু Q। OP, OC, OQ, OA, OB যোগ কৰক।
A বিন্দুৰ পৰা অংকিত স্পৰ্শক AP আৰু AC ৰ দৈৰ্ঘ্য সমান (উপপাদ্য 10.2)। সেইদৰে $\triangle OPA \cong \triangle OCA$ (RHS), গতিকে $\angle OAP = \angle OAC$, অৰ্থাৎ OA-এ $\angle PAC$-ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
একেদৰে OB-এ $\angle QBC$-ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
যিহেতু $XY \parallel X’Y’$, ছেদক AB-ই —
$$\angle PAB + \angle QBA = 180^\circ$$
$$\therefore \tfrac{1}{2}\angle PAB + \tfrac{1}{2}\angle QBA = 90^\circ$$
$$\angle OAB + \angle OBA = 90^\circ$$
$\triangle OAB$ ত —
$$\angle AOB = 180^\circ – (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ$$
(প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন 10। প্ৰমাণ কৰা যে এটা বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা অংকিত স্পৰ্শক যুগ্মে স্পৰ্শ বিন্দু দুটাক যোগ কৰা ৰেখাৰ লগত যি কোণ কৰে আৰু স্পৰ্শ বিন্দু দুটাৰ মাজত কেন্দ্ৰে কৰা কোণ পৰিপূৰক (supplementary)।
উত্তৰঃ মান লওঁক বহিঃস্থ বিন্দু P, স্পৰ্শ বিন্দু A আৰু B। PA, PB স্পৰ্শক। আমাৰ প্ৰমাণ্য $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$।
চতুৰ্ভুজ OAPB ৰ চাৰিটা কোণৰ যোগফল $360^\circ$। উপপাদ্য 10.1 অনুসৰি $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$।
$$\angle OAP + \angle APB + \angle PBO + \angle BOA = 360^\circ$$
$$90^\circ + \angle APB + 90^\circ + \angle AOB = 360^\circ$$
$$\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$$
(প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন 11। প্ৰমাণ কৰা যে এটা বৃত্তৰ বহিঃ-পৰিলিখিত সামান্তৰিক এটা ৰম্বছ।
উত্তৰঃ মান লওঁক ABCD এটা সামান্তৰিক যিয়ে এটা বৃত্তক বহিঃ-পৰিলিখিত কৰে। প্ৰশ্ন 8 ৰ ফলাফল অনুসৰি —
$$AB + CD = AD + BC \quad \cdots (i)$$
সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু সমান, গতিকে $AB = CD$ আৰু $AD = BC$। সমীকৰণ (i) ত বহালে —
$$2AB = 2BC \Rightarrow AB = BC$$
$\therefore AB = BC = CD = DA$ অৰ্থাৎ ABCD এটা ৰম্বছ। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন 12। 4 ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ ABC ত্ৰিভুজ বহিঃ-পৰিলিখিত। যদি বৃত্তৰ স্পৰ্শ বিন্দু D-এ BC ক বিভাজন কৰি $BD = 8$ ছে.মি. আৰু $DC = 6$ ছে.মি. পায়, তেন্তে AB আৰু AC ৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰক বৃত্তটোৱে AB, AC ক যথাক্ৰমে F, E ত স্পৰ্শ কৰে।
উপপাদ্য 10.2 অনুসৰিঃ
$$BF = BD = 8 \text{ ছে.মি.}, \quad CE = CD = 6 \text{ ছে.মি.}$$
$$AF = AE = x \text{ (ধৰক)}$$
$\therefore AB = x + 8$, $AC = x + 6$, $BC = 14$ ছে.মি.।
মান লওঁক কেন্দ্ৰ O। OD ⊥ BC আৰু $OD = 4$।
$\triangle ABC$ ৰ ক্ষেত্ৰফল $\Delta$ ক দুটা ধৰণে লিখিব পাৰি। অৰ্ধ-পৰিসীমা $s = \tfrac{(x+8)+(x+6)+14}{2} = x+14$।
$$\Delta = r \cdot s = 4(x+14)$$
আকৌ Heron-ৰ সূত্ৰৰ পৰাঃ
$$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(x+14)(x)(8)(6)}$$
$$= \sqrt{48x(x+14)}$$
দুটা মান সমান কৰিলে —
$$16(x+14)^2 = 48x(x+14)$$
$$x+14 = 3x \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$$
$\therefore AB = 7 + 8 = \mathbf{15}$ ছে.মি. আৰু $AC = 7 + 6 = \mathbf{13}$ ছে.মি.।
প্ৰশ্ন 13। প্ৰমাণ কৰা যে কোনো এটা বৃত্তৰ বহিঃ-পৰিলিখিত চতুৰ্ভুজৰ বিপৰীত বাহু-যুগ্মই কেন্দ্ৰত পৰিপূৰক কোণ কৰে।
উত্তৰঃ মান লওঁক চতুৰ্ভুজ ABCD ৰ AB, BC, CD, DA-ক বৃত্তটোৱে যথাক্ৰমে P, Q, R, S বিন্দুত স্পৰ্শ কৰে। কেন্দ্ৰ O ৰে P, Q, R, S, A, B, C, D সকলো যোগ কৰা হ’ল।
উপপাদ্য 10.2 অনুসৰি $\triangle OAP \cong \triangle OAS$ (কাৰণ $AP = AS$, $OP = OS$, $OA$ সাধাৰণ)। গতিকে $\angle AOP = \angle AOS$। ধৰক $\angle AOP = \angle AOS = \alpha_1$।
একেদৰে ধৰক $\angle BOP = \angle BOQ = \alpha_2$, $\angle COQ = \angle COR = \alpha_3$, $\angle DOR = \angle DOS = \alpha_4$।
O-ৰ চাৰিওফালৰ কোণৰ যোগফল —
$$2\alpha_1 + 2\alpha_2 + 2\alpha_3 + 2\alpha_4 = 360^\circ$$
$$\Rightarrow \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 180^\circ$$
এতিয়া —
$$\angle AOB = \alpha_1 + \alpha_2, \quad \angle COD = \alpha_3 + \alpha_4$$
$$\therefore \angle AOB + \angle COD = 180^\circ$$
একেদৰে $\angle BOC + \angle DOA = 180^\circ$। (প্ৰমাণিত)
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন (Additional Questions)
প্ৰশ্ন 1। কোনো এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ 8 ছে.মি. আৰু কেন্দ্ৰৰ পৰা 17 ছে.মি. দূৰৱৰ্তী এটা বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান?
উত্তৰঃ $\sqrt{17^2 – 8^2} = \sqrt{289 – 64} = \sqrt{225} = 15$ ছে.মি.।
প্ৰশ্ন 2। দুটা সকেন্দ্ৰিক বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ যথাক্ৰমে 13 ছে.মি. আৰু 5 ছে.মি.। ডাঙৰ বৃত্তৰ এডাল জ্যাই সৰু বৃত্তটোক স্পৰ্শ কৰিলে জ্যাটোৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ $AP = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{144} = 12$, $\therefore AB = 24$ ছে.মি.।
প্ৰশ্ন 3। P বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা অংকিত স্পৰ্শক যুগ্মই $60^\circ$ কোণ কৰে। যদি $OP = 10$ ছে.মি. হয়, তেন্তে বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ কিমান?
উত্তৰঃ $\angle OPA = 30^\circ$, $\angle OAP = 90^\circ$।
$$\sin 30^\circ = \dfrac{OA}{OP} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{OA}{10} \Rightarrow OA = 5 \text{ ছে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 4। প্ৰমাণ কৰা যে দুটা সকেন্দ্ৰিক বৃত্তৰ ভিতৰৰখনৰ যিকোনো এডাল স্পৰ্শকে বাহিৰৰ বৃত্তৰ পৰা কৰা জ্যাক স্পৰ্শ বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
উত্তৰঃ মান লওঁক ভিতৰৰ বৃত্তৰ স্পৰ্শক AB-এ ভিতৰৰ বৃত্তটোক P ত স্পৰ্শ কৰে। তেতিয়া $OP \perp AB$। কিন্তু বাহিৰৰ বৃত্তৰ ক্ষেত্ৰত AB এডাল জ্যা আৰু লম্ব OP-এ জ্যাক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে, গতিকে $AP = PB$। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন 5। 6 ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তত O কেন্দ্ৰৰ পৰা 10 ছে.মি. দূৰৱৰ্তী P বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শক যুগ্ম PA, PB অংকন কৰা। স্পৰ্শক যুগ্মই কৰা $\angle APB$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\sin(\angle OPA) = \tfrac{6}{10} = 0.6 \Rightarrow \angle OPA \approx 36.87^\circ$।
$$\angle APB = 2 \times 36.87^\circ \approx 73.74^\circ$$
প্ৰশ্ন 6। MCQ — যদি দুডাল স্পৰ্শক PQ আৰু PR-এ কেন্দ্ৰ O ত $120^\circ$ কোণ কৰে, তেন্তে $\angle QPR = ?$
উত্তৰঃ চতুৰ্ভুজ OQPR ত $90+90+120+\angle QPR = 360 \Rightarrow \angle QPR = 60^\circ$।
প্ৰশ্ন 7। এটা বৃত্তৰ স্পৰ্শকে কেন্দ্ৰৰ পৰা কিমান দূৰত্বত থাকে?
উত্তৰঃ বৃত্তৰ স্পৰ্শক হ’ল এডাল ৰেখা যিয়ে বৃত্তটোক স্পৰ্শ বিন্দুত স্পৰ্শ কৰে। উপপাদ্য 10.1 অনুসৰি কেন্দ্ৰ O ৰ পৰা স্পৰ্শকৰ ওপৰত লম্ব দূৰত্ব $OP$ স্পৰ্শ বিন্দুৰে যায় আৰু $OP = r$ (বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ)। গতিকে স্পৰ্শকৰ পৰা কেন্দ্ৰৰ লম্ব দূৰত্ব সদায় ব্যাসাৰ্ধৰ সমান হয়।
প্ৰশ্ন 8। এটা বহিঃস্থ বিন্দু P ৰ পৰা $r$ ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তলৈ অংকিত স্পৰ্শক যুগ্মৰ মাজৰ কোণ $\theta$ হ’লে দেখুওৱা যে $\sin(\theta/2) = r/OP$।
উত্তৰঃ ধৰক স্পৰ্শ বিন্দু A আৰু B; PA, PB স্পৰ্শক। OP-এ $\angle APB$ ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে, গতিকে $\angle APO = \theta/2$।
$\triangle OAP$ ত $\angle OAP = 90^\circ$, $OA = r$, $OP$ কৰ্ণ —
$$\sin(\theta/2) = \dfrac{\text{বিপৰীত}}{\text{কৰ্ণ}} = \dfrac{OA}{OP} = \dfrac{r}{OP}$$
(প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন 9। MCQ — কেন্দ্ৰ O ৰ এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $r$। বহিঃস্থ বিন্দু P ৰ পৰা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য 24, $OP = 25$ হ’লে $r$ ৰ মান —
(a) 12 (b) 14 (c) 7 (d) 24.5
উত্তৰঃ $r = \sqrt{25^2 – 24^2} = \sqrt{49} = 7$। সঠিক উত্তৰ (c)।
প্ৰশ্ন 10। সত্য নে অসত্য —
| উক্তি | উত্তৰ |
|---|---|
| (i) এটা বৃত্তৰ এটা বিন্দুত মাত্ৰ এডাল স্পৰ্শক অংকন কৰিব পাৰি। | সত্য |
| (ii) ছেদক ৰেখাই বৃত্তক ঠিক এটা বিন্দুত স্পৰ্শ কৰে। | অসত্য (ছেদকে দুটা বিন্দুত ছেদ কৰে) |
| (iii) স্পৰ্শক স্পৰ্শ বিন্দুৰে যোৱা ব্যাসাৰ্ধৰ ওপৰত লম্ব। | সত্য |
| (iv) বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শক যুগ্মৰ দৈৰ্ঘ্য অসমান। | অসত্য |
| (v) বৃত্তৰ ভিতৰৰ এটা বিন্দুৰ পৰা দুডাল স্পৰ্শক অংকন কৰিব পাৰি। | অসত্য (কোনো স্পৰ্শক নাই) |
সাধাৰণ ভুল আৰু সঁজুলি (Common Mistakes & Tips)
- স্পৰ্শক বনাম জ্যা: স্পৰ্শক ৰেখা বৃত্তৰ ভিতৰলৈ যাব নোৱাৰে, কিন্তু জ্যা সম্পূৰ্ণৰূপে বৃত্তৰ ভিতৰত থাকে।
- উপপাদ্য 10.1 প্ৰয়োগ: যেতিয়াই স্পৰ্শ বিন্দু আৰু কেন্দ্ৰক যোগ কৰা হ’ব, তেতিয়াই $90^\circ$ কোণ পোৱা যাব।
- উপপাদ্য 10.2 প্ৰয়োগ: চতুৰ্ভুজ বা ত্ৰিভুজৰ বহিঃ-পৰিলিখিত বৃত্তৰ সমস্যাত প্ৰতিটো শীৰ্ষৰ পৰা দুটা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য সমান হিচাপে চিহ্নিত কৰিব।
- চতুৰ্ভুজ পদ্ধতি: যেতিয়া দুটা স্পৰ্শক আৰু দুটা ব্যাসাৰ্ধেৰে চতুৰ্ভুজ গঠন হয়, তাৰ চাৰিটা কোণৰ যোগফল $360^\circ$।
- সকেন্দ্ৰিক বৃত্তত: ভিতৰৰ বৃত্তৰ স্পৰ্শকটো বাহিৰৰ বৃত্তৰ এডাল জ্যা হয়, আৰু কেন্দ্ৰৰ পৰা ই লম্বভাৱে দ্বিখণ্ডিত হয়।
পৰীক্ষা প্ৰস্তুতিৰ মূল সূত্ৰ
| পৰিস্থিতি | সূত্ৰ |
|---|---|
| স্পৰ্শক দৈৰ্ঘ্য | $PT = \sqrt{OP^2 – r^2}$ |
| স্পৰ্শক যুগ্মৰ মাজৰ কোণ | $\sin(\theta/2) = r/OP$ |
| বহিঃস্থ বিন্দুত স্পৰ্শক যুগ্মৰ যোগফল | $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$ |
| বহিঃ-পৰিলিখিত চতুৰ্ভুজ | $AB + CD = AD + BC$ |
| সকেন্দ্ৰিক বৃত্তৰ জ্যা | $L = 2\sqrt{R^2 – r^2}$ |
উদাহৰণস্বৰূপে $R = 13$, $r = 5$ হ’লে জ্যাৰ দৈৰ্ঘ্য $L = 2\sqrt{169 – 25} = 2 \times 12 = 24$ ছে.মি.।
বৰ্গ পৰীক্ষাৰ বাবে অনুশীলনী প্ৰশ্ন
- 5 ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা 13 ছে.মি. দূৰৱৰ্তী এটা বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা। (উত্তৰঃ 12 ছে.মি.)
- এটা বৃত্তৰ ব্যাসৰ অন্ত-বিন্দু A আৰু B ত স্পৰ্শক $l, m$। প্ৰমাণ কৰা যে $l \parallel m$।
- $3$ ছে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এটা বিন্দুৰ পৰা $30^\circ$ কোণত হেলনীয়া স্পৰ্শক যুগ্ম অংকন কৰা।
- প্ৰমাণ কৰা যে এটা ত্ৰিভুজৰ অন্তঃবৃত্তৰ স্পৰ্শ বিন্দুৱে ত্ৰিভুজৰ বাহুক এনেদৰে বিভক্ত কৰে যাতে দুটা ভাগৰ যোগফল ত্ৰিভুজৰ অৰ্ধ-পৰিসীমাৰ সমান হয়।
- $8$ ছে.মি. ব্যাসৰ এটা বৃত্তলৈ এটা বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শক যুগ্ম অংকন কৰা যিয়ে $60^\circ$ কোণত হেলনীয়া হয়। বহিঃস্থ বিন্দুৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা দূৰত্ব উলিওৱা। (উত্তৰঃ 8 ছে.মি.)
শব্দাৰ্থ (Glossary)
| অসমীয়া | English |
|---|---|
| বৃত্ত | Circle |
| কেন্দ্ৰ | Centre |
| ব্যাসাৰ্ধ | Radius |
| ব্যাস | Diameter |
| জ্যা | Chord |
| চাপ | Arc |
| পৰিধি | Circumference |
| স্পৰ্শক | Tangent |
| ছেদক | Secant |
| স্পৰ্শ বিন্দু | Point of contact |
| বহিঃস্থ বিন্দু | External point |
| লম্ব | Perpendicular |
| সমান্তৰাল | Parallel |
| সকেন্দ্ৰিক বৃত্ত | Concentric circles |
| বহিঃ-পৰিলিখিত | Circumscribed |
| সৰ্বসমতা | Congruence |
| উপপাদ্য | Theorem |
| সমদ্বিখণ্ডন | Bisection |
| পৰিপূৰক কোণ | Supplementary angle |
| সামান্তৰিক | Parallelogram |
| ৰম্বছ | Rhombus |
মূল বিষয় পুনৰাবৃত্তি (Quick Recap)
| বিষয় | মূল কথা |
|---|---|
| স্পৰ্শকৰ সংজ্ঞা | বৃত্তক ঠিক এটা বিন্দুতে ছেদ কৰা ৰেখা। |
| উপপাদ্য 10.1 | স্পৰ্শক $\perp$ ব্যাসাৰ্ধ, স্পৰ্শ বিন্দুত। |
| উপপাদ্য 10.2 | বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য সমান, $PA = PB$। |
| স্পৰ্শকৰ সংখ্যা | ভিতৰত 0, ওপৰত 1, বাহিৰত 2। |
| বহিঃ-পৰিলিখিত চতুৰ্ভুজ | $AB + CD = AD + BC$। |
| মূল সূত্ৰ | $PT = \sqrt{OP^2 – r^2}$। |
সাৰাংশঃ এই অধ্যায়ত আমি (i) স্পৰ্শকৰ সংজ্ঞা, (ii) উপপাদ্য 10.1 — স্পৰ্শক ব্যাসাৰ্ধৰ ওপৰত লম্ব, (iii) উপপাদ্য 10.2 — বহিঃস্থ বিন্দুৰ পৰা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য সমান, আৰু (iv) এই দুটা উপপাদ্যৰ প্ৰয়োগেৰে অনুশীলনী 10.1 আৰু 10.2 ৰ সকলো প্ৰশ্নৰ সমাধান চালোঁ। এই দুটা মূল উপপাদ্য মনত ৰাখিলেই আপুনি অধিকাংশ প্ৰশ্ন সহজে সমাধান কৰিব পাৰিব। ASSEB বোৰ্ড পৰীক্ষাৰ বাবে শুভেচ্ছা!