HSLC Guru — ASSEB Class 10 Mathematics Chapter 1: বাস্তৱ সংখ্যা (Real Numbers)
HSLC Guru-লৈ স্বাগতম! এই পৃষ্ঠাত আপুনি ASSEB (Assam State School Education Board) Class 10 Mathematics-ৰ প্ৰথম অধ্যায় — বাস্তৱ সংখ্যা (Real Numbers)-ৰ সম্পূৰ্ণ অসমীয়া মাধ্যমৰ প্ৰশ্ন উত্তৰ, সূত্ৰ, ব্যাখ্যা আৰু অতিৰিক্ত প্ৰশ্নসমূহ পাব। প্ৰতিটো অনুশীলনীৰ (Exercise 1.1, 1.2, 1.3, 1.4) সকলো প্ৰশ্নৰ পদক্ষেপ-পদক্ষেপ সমাধান এই ঠাইত উপলব্ধ।
সাৰাংশ (Chapter Summary)
বাস্তৱ সংখ্যা অধ্যায়ত আমি মূলতঃ ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা (Euclid’s Division Lemma) আৰু পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য (Fundamental Theorem of Arithmetic) বিচাৰ কৰোঁ। এই দুটা ধাৰণাই ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যাৰ বিভাজ্যতা সম্পৰ্কীয় বহু সমস্যাৰ সমাধান কৰিবলৈ আমাক সক্ষম কৰে।
ইউক্লিডৰ বিভাজন এলগৰিদমৰ সহায়ত আমি দুটা ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যাৰ গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক (HCF) উলিয়াব পাৰোঁ। আনহাতে পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যই কয় যে প্ৰতিটো যৌগিক সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে অনন্যভাৱে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। এই উপপাদ্যৰ সহায়ত আমি $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ আদি অমূলদ সংখ্যা বুলি প্ৰমাণ কৰিব পাৰোঁ।
এই অধ্যায়ৰ শেষৰ অংশত আমি মূলদ সংখ্যাৰ দশমিক বিস্তাৰ (Decimal Expansion) সম্পৰ্কে শিকিম। যদি কোনো মূলদ সংখ্যাৰ হৰটোক $2^m \times 5^n$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি (লঘিষ্ঠ ৰূপত), তেন্তে তাৰ দশমিক বিস্তাৰ সসীম (terminating) হ’ব; অন্যথা ই অসসীম পুনৰাবৃত্তি (non-terminating recurring) হ’ব।
English Summary: This chapter covers Euclid’s Division Lemma, Fundamental Theorem of Arithmetic, irrationality proofs of $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, and decimal expansions of rationals (terminating vs non-terminating recurring) with full ASSEB Class 10 exercise solutions.
মূল সূত্ৰ আৰু ধাৰণা (Key Formulas & Concepts)
১. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা (Euclid’s Division Lemma): যিকোনো দুটা ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যা $a$ আৰু $b$ ৰ বাবে এনেকুৱা অনন্য পূৰ্ণ সংখ্যা $q$ আৰু $r$ পোৱা যায় যাতে—
$$a = bq + r, \quad 0 \le r < b$$
২. ইউক্লিডৰ বিভাজন এলগৰিদম (HCF উলিওৱা পদ্ধতি): দুটা ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যা $c$ আৰু $d$ ($c > d$)-ৰ HCF উলিয়াবলৈ—
(ক) $c = dq + r$ ৰূপত লিখা ($0 \le r < d$)। (খ) যদি $r = 0$ হয়, তেন্তে HCF $= d$। (গ) যদি $r \ne 0$ হয়, তেন্তে $d$ আৰু $r$-ৰ ওপৰত পুনৰ একে পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰা। এনেদৰে $r = 0$ নোপোৱালৈকে চলাই থাকা।
৩. পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য (Fundamental Theorem of Arithmetic): প্ৰতিটো ১-তকৈ ডাঙৰ যৌগিক সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে অনন্যভাৱে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি (মৌলিক সংখ্যাবোৰৰ ক্ৰম বাদ দি)।
৪. HCF আৰু LCM-ৰ সম্পৰ্ক: দুটা ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যা $a$ আৰু $b$-ৰ বাবে—
$$\text{HCF}(a,b) \times \text{LCM}(a,b) = a \times b$$
৫. সসীম দশমিক বিস্তাৰৰ চৰ্ত: ধৰক $x = \dfrac{p}{q}$ এটা মূলদ সংখ্যা য’ত $p, q$ পৰস্পৰ মৌলিক। তেন্তে $x$-ৰ সসীম দশমিক বিস্তাৰ থাকিব যদিহে—
$$q = 2^m \times 5^n, \quad m, n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$$
৬. অমূলদ সংখ্যাৰ ধাৰণা: যিবোৰ সংখ্যা $\dfrac{p}{q}$ ($q \ne 0$, $p, q$ পূৰ্ণ সংখ্যা) ৰূপত লিখিব নোৱাৰি, সেইবোৰক অমূলদ সংখ্যা বোলে। উদাহৰণ — $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \pi$ ইত্যাদি।
অনুশীলনী 1.1 (Exercise 1.1)
প্ৰশ্ন ১। ইউক্লিডৰ বিভাজন এলগৰিদম ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ সংখ্যাবোৰৰ HCF উলিওৱা: (i) ১৩৫ আৰু ২২৫ (ii) ১৯৬ আৰু ৩৮২২০ (iii) ৮৬৭ আৰু ২৫৫।
উত্তৰঃ (i) $225 > 135$ হোৱাৰ বাবে—
$$225 = 135 \times 1 + 90$$
$$135 = 90 \times 1 + 45$$
$$90 = 45 \times 2 + 0$$
ভাগশেষ ০ হোৱাৰ বাবে HCF $= 45$।
(ii) $38220 > 196$—
$$38220 = 196 \times 195 + 0$$
প্ৰথম পদতে ভাগশেষ ০ গতিকে HCF $= 196$।
(iii) $867 > 255$—
$$867 = 255 \times 3 + 102$$
$$255 = 102 \times 2 + 51$$
$$102 = 51 \times 2 + 0$$
গতিকে HCF $= 51$।
প্ৰশ্ন ২। দেখুৱা যে যিকোনো ধনাত্মক বিজোৰ পূৰ্ণ সংখ্যাক $6q + 1$, $6q + 3$ অথবা $6q + 5$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত $q$ এটা পূৰ্ণ সংখ্যা।
উত্তৰঃ ধৰক $a$ এটা ধনাত্মক বিজোৰ পূৰ্ণ সংখ্যা। ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা অনুসৰি $b = 6$ ল’লে—
$$a = 6q + r, \quad 0 \le r < 6$$
গতিকে $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ হ’ব পাৰে। তেতিয়া $a$-ৰ সম্ভাৱ্য মান হ’ল $6q, 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4, 6q+5$। ইয়াৰে $6q, 6q+2, 6q+4$ যুগ্ম সংখ্যা (২ৰ গুণিতক)। গতিকে বিজোৰ হ’বলৈ $a$ অৱশ্যেই $6q+1, 6q+3$ অথবা $6q+5$ ৰূপৰ হ’ব। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন ৩। ৬১৬ জন সদস্যৰ এটা সেনাবাহিনীৰ বেটেলিয়নক ৩২ সদস্যৰ এটা বেণ্ডে কুচকাৱাজত আগবঢ়াই নিব লাগে। দুয়োটা গোটক একে সংখ্যক স্তম্ভত আগবঢ়াই নিব লগা হ’লে, তেন্তে প্ৰতিটো স্তম্ভত সৰ্বাধিক কিমান সংখ্যক সদস্য থাকিব পাৰে?
উত্তৰঃ বিচাৰিব লগা সংখ্যাটো হ’ল $616$ আৰু $32$-ৰ HCF।
$$616 = 32 \times 19 + 8$$
$$32 = 8 \times 4 + 0$$
গতিকে HCF $= 8$। প্ৰতিটো স্তম্ভত সৰ্বাধিক ৮ জন সদস্য থাকিব পাৰে।
প্ৰশ্ন ৪। ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুৱা যে যিকোনো ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যাৰ বৰ্গক $3m$ অথবা $3m+1$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।
উত্তৰঃ ধৰক $a$ এটা ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যা আৰু $b = 3$। তেন্তে $a = 3q + r$ য’ত $r = 0, 1, 2$।
ক্ষেত্ৰ-১: $a = 3q$ হ’লে $a^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$, য’ত $m = 3q^2$।
ক্ষেত্ৰ-২: $a = 3q+1$ হ’লে $a^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$।
ক্ষেত্ৰ-৩: $a = 3q+2$ হ’লে $a^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$।
গতিকে যিকোনো ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যাৰ বৰ্গ $3m$ অথবা $3m+1$ ৰূপত প্ৰকাশযোগ্য। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন ৫। ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুৱা যে যিকোনো ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যাৰ ঘনফলক $9m$, $9m+1$ অথবা $9m+8$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।
উত্তৰঃ ধৰক $a = 3q + r$ ($r = 0, 1, 2$)।
ক্ষেত্ৰ-১: $a = 3q$ হ’লে $a^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$।
ক্ষেত্ৰ-২: $a = 3q+1$ হ’লে—
$$a^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 = 9m + 1$$
ক্ষেত্ৰ-৩: $a = 3q+2$ হ’লে—
$$a^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 = 9m + 8$$
গতিকে যিকোনো ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যাৰ ঘনফল $9m$, $9m+1$ অথবা $9m+8$ ৰূপত প্ৰকাশযোগ্য। (প্ৰমাণিত)
অনুশীলনী 1.2 (Exercise 1.2)
প্ৰশ্ন ১। তলৰ সংখ্যাবোৰক মৌলিক উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা: (i) ১৪০ (ii) ১৫৬ (iii) ৩৮২৫ (iv) ৫০০৫ (v) ৭৪২৯।
উত্তৰঃ (i) $140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7 = 2^2 \times 5 \times 7$।
(ii) $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13 = 2^2 \times 3 \times 13$।
(iii) $3825 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 = 3^2 \times 5^2 \times 17$।
(iv) $5005 = 5 \times 7 \times 11 \times 13$।
(v) $7429 = 17 \times 19 \times 23$।
প্ৰশ্ন ২। তলৰ যোৰ সংখ্যাবোৰৰ LCM আৰু HCF উলিওৱা আৰু পৰীক্ষা কৰা যে LCM × HCF = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল: (i) ২৬, ৯১ (ii) ৫১০, ৯২ (iii) ৩৩৬, ৫৪।
উত্তৰঃ (i) $26 = 2 \times 13$, $91 = 7 \times 13$।
HCF $= 13$, LCM $= 2 \times 7 \times 13 = 182$।
পৰীক্ষাঃ $\text{HCF} \times \text{LCM} = 13 \times 182 = 2366 = 26 \times 91$। (সঠিক)
(ii) $510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$, $92 = 2^2 \times 23$।
HCF $= 2$, LCM $= 2^2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$।
পৰীক্ষাঃ $2 \times 23460 = 46920 = 510 \times 92$। (সঠিক)
(iii) $336 = 2^4 \times 3 \times 7$, $54 = 2 \times 3^3$।
HCF $= 2 \times 3 = 6$, LCM $= 2^4 \times 3^3 \times 7 = 3024$।
পৰীক্ষাঃ $6 \times 3024 = 18144 = 336 \times 54$। (সঠিক)
প্ৰশ্ন ৩। মৌলিক উৎপাদক বিধি প্ৰয়োগ কৰি তলৰ সংখ্যাবোৰৰ LCM আৰু HCF উলিওৱা: (i) ১২, ১৫, ২১ (ii) ১৭, ২৩, ২৯ (iii) ৮, ৯, ২৫।
উত্তৰঃ (i) $12 = 2^2 \times 3$, $15 = 3 \times 5$, $21 = 3 \times 7$।
HCF $= 3$, LCM $= 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$।
(ii) $17, 23, 29$ — তিনিওটা মৌলিক সংখ্যা।
HCF $= 1$, LCM $= 17 \times 23 \times 29 = 11339$।
(iii) $8 = 2^3$, $9 = 3^2$, $25 = 5^2$।
HCF $= 1$, LCM $= 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 1800$।
প্ৰশ্ন ৪। দিয়া হৈছে HCF (৩০৬, ৬৫৭) = ৯। LCM (৩০৬, ৬৫৭) উলিওৱা।
উত্তৰঃ আমি জানো $\text{HCF} \times \text{LCM} = a \times b$।
$$\text{LCM} = \frac{306 \times 657}{9} = \frac{201042}{9} = 22338$$
প্ৰশ্ন ৫। পৰীক্ষা কৰা যে $6^n$ কোনো $n$-ৰ বাবে অংকেৰে শূন্যৰে শেষ হ’ব পাৰেনে।
উত্তৰঃ যদি $6^n$ শূন্যৰে শেষ হয়, তেন্তে ই ১০-ৰ গুণিতক হ’ব লাগিব, অৰ্থাৎ ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদনত $2$ আৰু $5$ দুয়োটাই থাকিব লাগিব।
$$6^n = (2 \times 3)^n = 2^n \times 3^n$$
ইয়াত মৌলিক উৎপাদক হিচাপে $5$ নাই। পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য অনুসৰি মৌলিক উৎপাদন অনন্য, গতিকে $6^n$ কেতিয়াও $0$-ৰে শেষ হ’ব নোৱাৰে।
প্ৰশ্ন ৬। ব্যাখ্যা কৰা যে $7 \times 11 \times 13 + 13$ আৰু $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5$ যৌগিক সংখ্যা কিয়।
উত্তৰঃ (i) $7 \times 11 \times 13 + 13 = 13(7 \times 11 + 1) = 13 \times 78 = 13 \times 2 \times 3 \times 13$।
ইয়াৰ ১-আৰু-নিজৰ-বাহিৰে আন উৎপাদক আছে, গতিকে যৌগিক সংখ্যা।
(ii) $7! + 5 = 5040 + 5 = 5(1008 + 1) = 5 \times 1009$।
ইয়াকো ১-আৰু-নিজৰ-বাহিৰে আন উৎপাদকেৰে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। গতিকে ই যৌগিক সংখ্যা।
প্ৰশ্ন ৭। এটা খেলপথাৰৰ চাৰিওফালে সোণ আৰু ৰৱি দুয়ো খোজকাঢ়ি ঘূৰি আছে। এটা পাকৈ সম্পূৰ্ণ কৰিবলৈ সোণে ১৮ মিনিট আৰু ৰৱিয়ে ১২ মিনিট লয়। দুয়ো একেলগে প্ৰাৰম্ভিক স্থানৰপৰা একে দিশত যাত্ৰা আৰম্ভ কৰিলে। কিমান সময়ৰ পাছত পুনৰ আৰম্ভণিৰ স্থানত মিলিত হ’ব?
উত্তৰঃ বিচাৰিব লগা সময় হ’ল $18$ আৰু $12$-ৰ LCM।
$18 = 2 \times 3^2$, $12 = 2^2 \times 3$।
$$\text{LCM} = 2^2 \times 3^2 = 36$$
গতিকে ৩৬ মিনিটৰ পাছত দুয়ো পুনৰ আৰম্ভণিৰ স্থানত মিলিত হ’ব।
অনুশীলনী 1.3 (Exercise 1.3)
প্ৰশ্ন ১। প্ৰমাণ কৰা যে $\sqrt{5}$ এটা অমূলদ সংখ্যা।
উত্তৰঃ বিৰোধাভাসৰ পদ্ধতিৰে প্ৰমাণ কৰোঁ। ধৰক $\sqrt{5}$ এটা মূলদ সংখ্যা। তেন্তে আমি লিখিব পাৰোঁ—
$$\sqrt{5} = \frac{a}{b}, \quad b \ne 0,\ \gcd(a,b) = 1$$
দুয়োফালে বৰ্গ কৰি— $5b^2 = a^2$। গতিকে $a^2$ ৫-ৰ গুণিতক, যিয়ে কয় $a$-ও ৫-ৰ গুণিতক। ধৰক $a = 5c$।
তেতিয়া $5b^2 = 25c^2 \Rightarrow b^2 = 5c^2$। গতিকে $b^2$-ও ৫-ৰ গুণিতক, যিয়ে কয় $b$-ও ৫-ৰ গুণিতক।
কিন্তু তেতিয়া $a$ আৰু $b$ দুয়ো ৫-ৰ গুণিতক হ’ল, যিটো আমাৰ $\gcd(a,b) = 1$ ধৰাৰ বিৰুদ্ধে। গতিকে আমাৰ ধাৰণা ভুল আছিল। সেয়েহে $\sqrt{5}$ অমূলদ। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন ২। প্ৰমাণ কৰা যে $3 + 2\sqrt{5}$ এটা অমূলদ সংখ্যা।
উত্তৰঃ ধৰক $3 + 2\sqrt{5}$ মূলদ। তেন্তে $3 + 2\sqrt{5} = \dfrac{p}{q}$ ($q \ne 0$)।
$$\sqrt{5} = \frac{1}{2}\left(\frac{p}{q} – 3\right) = \frac{p – 3q}{2q}$$
সোঁফালৰটো এটা মূলদ সংখ্যা, কিন্তু আমি জানো $\sqrt{5}$ অমূলদ — এইটো বিৰোধাভাস। গতিকে $3 + 2\sqrt{5}$ অমূলদ। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন ৩। প্ৰমাণ কৰা যে তলৰ সংখ্যাবোৰ অমূলদ: (i) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (ii) $7\sqrt{5}$ (iii) $6 + \sqrt{2}$।
উত্তৰঃ (i) ধৰক $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ মূলদ, অৰ্থাৎ $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{p}{q}$।
$$\sqrt{2} = \frac{q}{p}$$
সোঁফাল মূলদ, কিন্তু $\sqrt{2}$ অমূলদ — বিৰোধাভাস। গতিকে $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ অমূলদ।
(ii) ধৰক $7\sqrt{5} = \dfrac{p}{q}$ মূলদ। তেন্তে $\sqrt{5} = \dfrac{p}{7q}$ মূলদ হ’ব, যিটো ভুল। গতিকে $7\sqrt{5}$ অমূলদ।
(iii) ধৰক $6 + \sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ মূলদ। তেন্তে $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q} – 6 = \dfrac{p – 6q}{q}$ মূলদ হ’ব, যিটো ভুল। গতিকে $6 + \sqrt{2}$ অমূলদ। (প্ৰমাণিত)
অনুশীলনী 1.4 (Exercise 1.4)
প্ৰশ্ন ১। বিভাজন প্ৰক্ৰিয়া নকৰাকৈ কোৱা তলৰ মূলদ সংখ্যাবোৰৰ দশমিক বিস্তাৰ সসীম নে অসসীম পুনৰাবৃত্তি: (i) $\dfrac{13}{3125}$ (ii) $\dfrac{17}{8}$ (iii) $\dfrac{64}{455}$ (iv) $\dfrac{15}{1600}$ (v) $\dfrac{29}{343}$ (vi) $\dfrac{23}{2^3 5^2}$ (vii) $\dfrac{129}{2^2 5^7 7^5}$ (viii) $\dfrac{6}{15}$ (ix) $\dfrac{35}{50}$ (x) $\dfrac{77}{210}$।
উত্তৰঃ (i) $3125 = 5^5 = 2^0 \times 5^5$ — সসীম।
(ii) $8 = 2^3$ — সসীম।
(iii) $455 = 5 \times 7 \times 13$ — ৭ আৰু ১৩ আছে, গতিকে অসসীম পুনৰাবৃত্তি।
(iv) $1600 = 2^6 \times 5^2$ — সসীম।
(v) $343 = 7^3$ — অসসীম পুনৰাবৃত্তি।
(vi) হৰ $2^3 \times 5^2$ — সসীম।
(vii) হৰত $7^5$ আছে — অসসীম পুনৰাবৃত্তি।
(viii) $\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$ — সসীম।
(ix) $\dfrac{35}{50} = \dfrac{7}{10} = \dfrac{7}{2 \times 5}$ — সসীম।
(x) $\dfrac{77}{210} = \dfrac{11}{30} = \dfrac{11}{2 \times 3 \times 5}$ — হৰত ৩ আছে, গতিকে অসসীম পুনৰাবৃত্তি।
প্ৰশ্ন ২। প্ৰশ্ন ১-ত উল্লেখ থকা সসীম দশমিক বিস্তাৰৰ মূলদ সংখ্যাবোৰৰ দশমিক বিস্তাৰ লিখা।
উত্তৰঃ
(i) $\dfrac{13}{3125} = \dfrac{13 \times 2^5}{5^5 \times 2^5} = \dfrac{416}{100000} = 0.00416$।
(ii) $\dfrac{17}{8} = \dfrac{17}{2^3} = \dfrac{17 \times 5^3}{10^3} = \dfrac{2125}{1000} = 2.125$।
(iv) $\dfrac{15}{1600} = \dfrac{15}{2^6 \times 5^2} = \dfrac{15 \times 5^4}{10^6} = \dfrac{9375}{1000000} = 0.009375$।
(vi) $\dfrac{23}{2^3 \times 5^2} = \dfrac{23 \times 5}{10^3} = \dfrac{115}{1000} = 0.115$।
(viii) $\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5} = 0.4$।
(ix) $\dfrac{35}{50} = \dfrac{7}{10} = 0.7$।
প্ৰশ্ন ৩। তলৰ সংখ্যাবোৰৰ দশমিক বিস্তাৰ দিয়া হৈছে। প্ৰতিটোৰ ক্ষেত্ৰত কোৱা যে ই মূলদ নে অমূলদ। যদি মূলদ আৰু ই $\dfrac{p}{q}$ ৰূপৰ হয়, তেন্তে $q$-ৰ মৌলিক উৎপাদকৰ বিষয়ে কি ক’ব পাৰি? (i) ৪৩.১২৩৪৫৬৭৮৯ (ii) ০.১২০১২০০১২০০০১২… (iii) $43.\overline{123456789}$।
উত্তৰঃ (i) দশমিক বিস্তাৰ সসীম, গতিকে মূলদ। ইয়াৰ হৰৰ মৌলিক উৎপাদক কেৱল ২ আৰু ৫ হ’ব ($q = 2^m 5^n$ ৰূপত)।
(ii) দশমিক বিস্তাৰ অসসীম আৰু পুনৰাবৃত্তি নহয় — গতিকে অমূলদ।
(iii) দশমিক বিস্তাৰ অসসীম পুনৰাবৃত্তি — গতিকে মূলদ। হৰত ২ আৰু ৫ৰ বাহিৰেও আন মৌলিক উৎপাদক থাকিব।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন উত্তৰ — MCQ (বহু বিকল্পীয় প্ৰশ্ন)
১। ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা অনুসৰি $a = bq + r$-ত $r$-ৰ মান ক’ৰ মাজত থাকে?
(ক) $0 < r < b$ (খ) $0 \le r < b$ (গ) $0 \le r \le b$ (ঘ) $1 \le r < b$
উত্তৰঃ (খ) $0 \le r < b$।
২। $\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b)$ সমান —
(ক) $a + b$ (খ) $a – b$ (গ) $a \times b$ (ঘ) $a \div b$
উত্তৰঃ (গ) $a \times b$।
৩। তলৰ কোনটো অমূলদ সংখ্যা?
(ক) $\sqrt{4}$ (খ) $\sqrt{9}$ (গ) $\sqrt{2}$ (ঘ) $\sqrt{16}$
উত্তৰঃ (গ) $\sqrt{2}$।
৪। $\dfrac{7}{20}$-ৰ দশমিক বিস্তাৰ —
(ক) সসীম (খ) অসসীম পুনৰাবৃত্তি (গ) অসসীম অপুনৰাবৃত্তি (ঘ) ক’বই নোৱাৰি
উত্তৰঃ (ক) সসীম। কাৰণ $20 = 2^2 \times 5$।
৫। ১৪০-ৰ মৌলিক উৎপাদন—
(ক) $2^2 \times 5 \times 7$ (খ) $2 \times 5 \times 14$ (গ) $2^3 \times 5 \times 7$ (ঘ) $2^2 \times 35$
উত্তৰঃ (ক) $2^2 \times 5 \times 7$।
৬। দুটা সংখ্যাৰ HCF $9$ আৰু LCM $360$ হ’লে, দুটা সংখ্যাৰ গুণফল কিমান?
(ক) $40$ (খ) $369$ (গ) $3240$ (ঘ) $351$
উত্তৰঃ (গ) $3240$। কাৰণ $\text{HCF} \times \text{LCM} = 9 \times 360 = 3240$।
৭। $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ এটা—
(ক) মূলদ সংখ্যা (খ) পূৰ্ণ সংখ্যা (গ) অমূলদ সংখ্যা (ঘ) স্বাভাৱিক সংখ্যা
উত্তৰঃ (গ) অমূলদ সংখ্যা।
৮। ৩২ আৰু ৫৪-ৰ HCF —
(ক) $1$ (খ) $2$ (গ) $4$ (ঘ) $8$
উত্তৰঃ (খ) $2$। কাৰণ $32 = 2^5$, $54 = 2 \times 3^3$, সাধাৰণ উৎপাদক $2$।
৯। $\dfrac{p}{q}$ ($q \ne 0$) ৰূপৰ মূলদ সংখ্যাৰ দশমিক বিস্তাৰ সসীম হ’বলৈ $q$-ৰ ৰূপ—
(ক) $2^m \times 5^n$ (খ) $2^m \times 3^n$ (গ) $5^m \times 7^n$ (ঘ) যিকোনো
উত্তৰঃ (ক) $2^m \times 5^n$।
১০। $7 \times 11 \times 13 + 13$—
(ক) মৌলিক সংখ্যা (খ) যৌগিক সংখ্যা (গ) ১ (ঘ) ০
উত্তৰঃ (খ) যৌগিক সংখ্যা।
খালী ঠাই পূৰণ কৰা (Fill in the Blanks)
১। ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা অনুসৰি $a = bq + r$ য’ত _____ ।
উত্তৰঃ $0 \le r < b$।
২। পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যই কয় যে প্ৰতিটো যৌগিক সংখ্যাক _____ সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে অনন্যভাৱে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।
উত্তৰঃ মৌলিক।
৩। $\text{HCF}(a,b) \times \text{LCM}(a,b) = $ _____ ।
উত্তৰঃ $a \times b$।
৪। $\sqrt{2}$ এটা _____ সংখ্যা।
উত্তৰঃ অমূলদ।
৫। $\dfrac{p}{q}$ মূলদ সংখ্যাৰ দশমিক বিস্তাৰ সসীম হ’বলৈ হ’লে $q$-ৰ ৰূপ _____ হ’ব লাগিব।
উত্তৰঃ $2^m \times 5^n$।
৬। $156 = 2^2 \times 3 \times $ _____ ।
উত্তৰঃ $13$।
সঁচা/মিছা (True/False)
১। $\sqrt{2}$ এটা মূলদ সংখ্যা। — মিছা।
২। দুটা মৌলিক সংখ্যাৰ HCF সদায় ১। — সঁচা।
৩। $\dfrac{1}{7}$-ৰ দশমিক বিস্তাৰ সসীম। — মিছা (হৰত $7$ থকাৰ বাবে অসসীম পুনৰাবৃত্তি)।
৪। দুটা ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যাৰ গুণফল ইহঁতৰ HCF আৰু LCM-ৰ গুণফলৰ সমান। — সঁচা।
৫। $6^n$ কোনো $n$-ৰ বাবে শূন্যৰে শেষ হ’ব পাৰে। — মিছা।
৬। এটা মূলদ আৰু এটা অমূলদ সংখ্যাৰ যোগফল সদায় অমূলদ। — সঁচা।
শব্দাৰ্থ (Glossary)
| অসমীয়া শব্দ | English Term | অৰ্থ / Meaning |
|---|---|---|
| বাস্তৱ সংখ্যা | Real Number | মূলদ আৰু অমূলদ সংখ্যাৰ সমষ্টি |
| মূলদ সংখ্যা | Rational Number | $\dfrac{p}{q}$ ($q \ne 0$) ৰূপত প্ৰকাশযোগ্য সংখ্যা |
| অমূলদ সংখ্যা | Irrational Number | $\dfrac{p}{q}$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰা সংখ্যা |
| মৌলিক সংখ্যা | Prime Number | ১ আৰু নিজৰ বাহিৰে আন উৎপাদক নথকা সংখ্যা |
| যৌগিক সংখ্যা | Composite Number | ১-আৰু-নিজৰ বাহিৰে অন্য উৎপাদক থকা সংখ্যা |
| গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক | HCF / GCD | দুটা সংখ্যাৰ গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক |
| লঘিষ্ঠ সাধাৰণ গুণিতক | LCM | দুটা সংখ্যাৰ লঘিষ্ঠ সাধাৰণ গুণিতক |
| বিভাজন প্ৰমেয়িকা | Division Lemma | $a = bq + r$, $0 \le r < b$ সম্পৰ্কীয় উপপাদ্য |
| এলগৰিদম | Algorithm | সমস্যা সমাধানৰ ক্ৰমিক পদ্ধতি |
| সসীম দশমিক | Terminating Decimal | সসীমভাৱে শেষ হোৱা দশমিক বিস্তাৰ |
| অসসীম পুনৰাবৃত্তি | Non-terminating Recurring | অসীম দীঘল কিন্তু পুনৰাবৃত্তি হোৱা দশমিক বিস্তাৰ |
| বিৰোধাভাস | Contradiction | প্ৰমাণৰ এক পদ্ধতি |
HSLC Guru — ASSEB Class 10 শিক্ষাৰ্থীসকলৰ বাবে বিনামূলীয়া অসমীয়া মাধ্যমৰ অধ্যয়ন সম্পদ।